Contrôle corrigé de Mathématiques pour Terminale Spécialité

Ce sujet de mathématiques de niveau Terminale, spécialité, est un excellent entraînement pour les élèves préparant le baccalauréat. Il porte sur deux chapitres fondamentaux du programme : les probabilités conditionnelles et le dénombrement. D'une durée de 1h30, ce contrôle corrigé est conçu pour évaluer la maîtrise des concepts clés à travers des exercices concrets et progressifs. Vous y trouverez des applications des arbres pondérés, de la formule des probabilités totales, des variables aléatoires, ainsi que les outils du dénombrement : permutations, listes, arrangements et combinaisons.

Exercice 1 : Fiabilité d'un test de dopage (Probabilités et Étude de fonction) - 10 points

Cet exercice est un problème complet qui lie l'analyse de fonction aux probabilités conditionnelles, un grand classique du bac. Il évalue la capacité à modéliser une situation concrète et à interpréter les résultats mathématiques.

Partie A : Étude d'une fonction rationnelle

La première partie se concentre sur l'étude d'une fonction `f` définie sur `[0; 1]` par `f(x) = \frac{0.96x}{0.93x + 0.03}`. Cette fonction servira de modèle dans la partie B.

• Question 1 : Calcul de la dérivée. Il est demandé de démontrer que `f'(x) = \frac{0.0288}{(0.93x + 0.03)^2}`. Cette question teste la maîtrise de la formule de dérivation d'un quotient de fonctions `(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}`.
• Question 2 : Sens de variation. En étudiant le signe de la dérivée `f'(x)`, qui est toujours positif sur l'intervalle d'étude, on en déduit que la fonction `f` est strictement croissante. Cela sera crucial pour l'interprétation dans la seconde partie.

Partie B : Application aux probabilités conditionnelles

Cette partie applique les résultats de l'étude de fonction à un problème de fiabilité d'un test de dépistage. On note `D` l'événement "le sportif est dopé" et `T` l'événement "le test est positif". On sait que `P(D) = x`, `P_D(T) = 0.96` et `P_{\bar{D}}(T) = 0.03`.

• Question 1 : Arbre de probabilités. La première étape consiste à construire un arbre pondéré qui modélise la situation, une compétence essentielle pour visualiser et organiser les données d'un problème de probabilités conditionnelles.
• Question 2 : Probabilité d'une intersection. On calcule la probabilité que le sportif soit dopé ET que son test soit positif, c'est-à-dire `P(D \cap T)`. En utilisant l'arbre, on trouve `P(D \cap T) = P(D) \times P_D(T) = 0.96x`.
• Question 3 : Formule des probabilités totales. Pour trouver la probabilité de l'événement `T`, on applique la formule des probabilités totales : `P(T) = P(D \cap T) + P(\bar{D} \cap T)`. Le calcul mène à `P(T) = 0.93x + 0.03`.
• Question 4 : Calcul d'une probabilité conditionnelle (Inversion de l'arbre). C'est le cœur du problème. On calcule la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif, `P_T(D)`. Cette probabilité, appelée valeur prédictive positive, se calcule par `P_T(D) = \frac{P(D \cap T)}{P(T)}`. On montre qu'elle est égale à `f(x)`. Pour `x=0.05`, on calcule `f(0.05)`.
• Question 5 : Interprétation et résolution d'inéquation. On utilise le modèle pour prendre des décisions. Il faut déterminer la proportion `x` à partir de laquelle la valeur prédictive positive est supérieure à 0.9, ce qui revient à résoudre l'inéquation `f(x) \ge 0.9`. L'interprétation finale s'appuie sur le sens de variation de `f` étudié en partie A.

Exercice 2 : Tirages de boules et variable aléatoire - 6 points

Une urne contient cinq boules noires et deux boules rouges, tirées une à une sans remise : il y a `7!` tirages possibles, tous équiprobables.

• Question 1 : Dénombrer avec le principe multiplicatif. On compte les tirages où la première boule est rouge, puis ceux où les deux boules rouges sortent l'une juste après l'autre, et on en déduit, par passage au contraire, ceux où elles ne se suivent pas.
• Question 2 : Loi de probabilité et espérance. `X` est le rang de la première boule rouge. Une partie de sa loi est donnée : il faut démontrer `P(X=1)` à l'aide de la question 1, en déduire la probabilité manquante grâce à la somme des probabilités égale à 1, puis calculer et interpréter l'espérance `E(X)`.

Exercice 3 : Dénombrement au foyer du lycée - 4 points

Un exercice court sur les différentes situations de dénombrement, à partir d'une équipe de douze élèves bénévoles.

• Listes (k-uplets) : nombre de codes de trois lettres avec répétition possible.
• Arrangements : élection d'un bureau (président, trésorier, secrétaire), où l'ordre compte.
• Combinaisons : nombre de groupes de quatre bénévoles, sans ordre.
• Passage au contraire : nombre de groupes comportant au moins un élève de terminale.