Bibliothèque de contrôles

Le programme de mathématiques de la classe de Terminale STI2D accorde une place centrale à l'étude de l'évolution des grandeurs discrètes et continues. Parmi les notions incontournables, le chapitre consacré aux suites numériques joue un rôle fondamental. Pour réussir cette année décisive, il est indispensable de maîtriser parfaitement les différentes formules liées à ces objets mathématiques, qu'il s'agisse de l'expression du terme général, des relations de récurrence ou encore du calcul de la somme des premiers termes. Ces outils sont en effet très souvent utilisés pour modéliser des situations concrètes issues de la vie courante, de l'économie ou de l'industrie. Afin de vous accompagner dans vos révisions et de vous préparer dans les meilleures conditions pour le baccalauréat, cette page regroupe un total de 3 contrôles corrigés. Chaque devoir surveillé propose des exercices variés et progressifs. En vous entraînant sérieusement avec ces sujets et leur correction détaillée, vous pourrez cibler vos difficultés, consolider vos acquis et aborder vos prochaines évaluations avec une grande sérénité.

Contrôle Suites arithmétiques et géométriques - sujet 1

Ce premier devoir surveillé, prévu pour une durée d'une heure, constitue un excellent entraînement pour vérifier l'assimilation des bases du cours. Il est structuré en trois exercices qui balaient l'ensemble des compétences attendues. Le premier exercice débute par une série d'affirmations à justifier, sous la forme d'un vrai ou faux. Vous devrez notamment démontrer si trois nombres donnés forment les termes consécutifs d'une suite géométrique en calculant leurs quotients, ou d'une suite arithmétique en vérifiant leurs différences. Il vous sera également demandé de calculer la moyenne géométrique de deux nombres, c'est-à-dire la racine carrée de leur produit, et de faire la distinction entre une croissance modélisée par une fonction affine et une croissance exponentielle correspondant à une augmentation en pourcentage. Dans la seconde partie de cet exercice, vous appliquerez directement le cours pour déterminer la forme explicite de deux suites spécifiques : une première de nature arithmétique dont le premier terme vaut sept et la raison est de moins trois, et une seconde de nature géométrique débutant à huit cents avec une raison de un virgule cinq.

Le deuxième exercice de ce contrôle corrigé se concentre exclusivement sur les formules de sommes. En reprenant les deux suites étudiées précédemment, il s'agira de calculer la somme des vingt-et-un premiers termes pour la situation linéaire, puis la somme des six premiers termes pour la situation exponentielle. Une application concrète vient clore cette partie avec la modélisation d'une production journalière qui diminue de façon constante. L'objectif est de trouver le jour exact où ce modèle mathématique cesse d'être pertinent, c'est-à-dire le moment où la valeur calculée devient strictement négative. Enfin, le troisième exercice intègre de l'algorithmique en langage Python. Vous devrez analyser un programme informatique conçu pour calculer la somme des carrés des premiers entiers naturels. Ce sera l'occasion de revoir les rôles cruciaux des variables de type compteur et accumulateur. Vous modifierez ensuite ce script pour traiter la somme des cubes, avant de vérifier la formule mathématique explicite de la somme des carrés et de prouver que la suite formée par les carrés parfaits n'est pas arithmétique.

Contrôle Suites arithmétiques et géométriques - sujet 2

Ce deuxième sujet d'entraînement, d'une durée d'une heure et trente minutes, propose une approche très progressive pour évaluer à la fois les automatismes de calcul et l'esprit critique. Le premier exercice rassemble plusieurs questions indépendantes. Vous devrez par exemple retrouver la raison et l'expression explicite d'une suite arithmétique en connaissant uniquement son terme de rang zéro qui vaut deux et son terme de rang douze qui vaut trente-huit. Vous appliquerez aussi la formule classique pour calculer la somme des cinquante premiers entiers naturels. Une autre question, sous forme de questionnaire à choix multiples, vous demandera de déduire la raison d'une progression géométrique à partir de ses termes de rang zéro et quatre. Enfin, vous modéliserez la baisse démographique annuelle de deux pour cent d'une ville de quinze mille habitants, afin de prévoir sa population au bout de dix ans.

Le deuxième exercice plonge l'élève dans un problème concret de mathématiques financières. Il étudie le plan d'épargne d'un technicien qui dépose mille cinq cents euros chaque année sur un compte rémunéré à un taux de deux virgule cinq pour cent. Il faut comprendre le principe des intérêts composés pour exprimer la valeur acquise par chaque versement au fil du temps. Le capital final obtenu au bout de dix ans correspond alors à la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique. Vous devrez utiliser la formule adéquate pour calculer ce montant global, puis déduire la part nette des intérêts générés par rapport aux sommes réellement versées. Le sujet invite même à comparer cette stratégie avec un placement unique de quinze mille euros. Le dernier exercice est particulièrement original : il demande d'analyser la copie d'un élève fictif pour y repérer une erreur de raisonnement. L'élève a calculé la somme d'une suite définie par quatre plus cinq fois n, pour n allant de trois à vingt, et a obtenu un résultat décimal. Puisque tous les termes sont des nombres entiers, la somme doit obligatoirement être entière. L'erreur provient d'un mauvais décompte du nombre de termes additionnés, qui est de dix-huit et non de dix-sept. Il faudra rédiger la correction détaillée de ce calcul.

Contrôle Suites arithmétiques et géométriques et Dérivation - sujet 3

Ce troisième DS est un devoir de synthèse de deux heures qui croise astucieusement l'étude des progressions numériques et le chapitre sur la dérivation globale des fonctions. Le premier exercice met en scène un problème de prise de décision pour une unité de méthanisation produisant du biogaz. Deux scénarios d'évolution de la production sont mis en concurrence. Le premier scénario envisage une augmentation mensuelle fixe de deux cent cinquante mètres cubes, modélisable par une suite arithmétique de premier terme quatre mille deux cents. Le second scénario mise sur une hausse de quatre virgule cinq pour cent par mois, ce qui se traduit par une suite géométrique de raison un virgule zéro quarante-cinq. Après avoir établi l'expression explicite de ces deux modèles, vous devrez calculer quelques valeurs pour identifier à quel moment la croissance en pourcentage dépasse la croissance linéaire. La décision finale reposera sur le calcul de la production totale cumulée sur une année complète. En utilisant les formules de somme appropriées, vous déterminerez lequel de ces deux projets permet de franchir le seuil visé de soixante-six mille mètres cubes de biogaz.

Le second exercice de ce contrôle est dédié à l'optimisation d'un bénéfice d'entreprise grâce aux outils du calcul différentiel. Le bénéfice est représenté par une fonction polynôme de degré trois, définie par moins x au cube plus neuf x au carré plus vingt-et-un x, sur un intervalle de production allant de zéro à dix. La résolution suit les étapes classiques d'une étude de fonction : détermination de la fonction dérivée qui est ici un trinôme du second degré, étude du signe de cette dérivée en cherchant ses racines, puis construction du tableau de variations complet. Ce tableau permettra d'identifier clairement la quantité à produire pour atteindre le bénéfice maximal. Pour clore ce sujet riche et complet, une dernière question fait le lien avec le premier exercice : en calculant les premières images de cette fonction pour des valeurs entières, il faudra vérifier si ces résultats successifs peuvent correspondre à un modèle arithmétique ou géométrique, démontrant ainsi la spécificité des fonctions polynomiales.

Travailler régulièrement sur ces exercices corrigés est la méthode la plus efficace pour réussir son année de Terminale STI2D. En vous confrontant aux différents types de questions posées dans ces devoirs surveillés, vous apprendrez à :

• Jongler entre les différentes formules des suites arithmétiques et géométriques.
• Repérer rapidement si une situation concrète relève d'un modèle linéaire ou exponentiel.
• Structurer rigoureusement vos démonstrations et vos calculs de sommes.

Avant votre prochain DS, prenez le temps de refaire ces sujets en format PDF sans regarder la correction détaillée dans un premier temps. Identifiez vos erreurs éventuelles, relisez les passages de votre cours correspondants, et assurez-vous de bien comprendre la logique de chaque calcul. Une bonne révision passe par cet entraînement actif, qui vous garantira une excellente maîtrise des concepts mathématiques évalués.