9. Utiliser la loi des probabilités totales

Introduction

Allez les amis, on est parti pour utiliser la loi des probabilités totales. La loi des probabilités totales, je vous la présente à droite. Ce que j'aimerais que vous compreniez, c'est que la loi des probabilités totales, c'est la même chose que de dire : la probabilité que j'aille dehors et qu'il pleuve, c'est la probabilité que la route soit mouillée et qu'il pleuve, ou la probabilité que la route ne soit pas mouillée et qu'il pleuve.

Explication de la loi des probabilités totales

Autrement dit, dans un arbre de probabilités, si je veux calculer \(P(F)\), je vais faire la somme de tous les chemins qui vont jusqu'à \(F\). Donc celui-ci et celui-là. Autrement dit, la probabilité d'avoir l'événement \(F\) c'est la probabilité que j'ai eu \(E\) et \(F\) (notée \(P(E \cap F)\)) plus la probabilité que je n'ai pas eu \(E\) et que j'ai \(F\) (notée \(P(\overline{E} \cap F)\)).

Calcul de la probabilité

Et vous avez plus qu'à calculer \(P(E \cap F)\). J'utilise la formule que vous connaissez par coeur qui s'affiche, c'est \(P(E) \times P(F|E) + P(\overline{E}) \times P(F|\overline{E})\). Vous allez me dire : "Mais \(P(\overline{E})\) n'est pas donné". En fait, si vous l'avez, cette probabilité là, pourquoi ? Parce que je vous rappelle que la somme des deux probabilités sur une branche, ça fait un. Donc, si j'ai 0.7, parce que 0.3 plus 0.7, ça fait 1. Ici, j'ai 0.8, mais ici, j'ai 0.9, donc je peux me mettre \(P(E) = 0.3 \times P(F|E) = 0.8\) plus \(P(\overline{E}) = 0.5 \times P(F|\overline{E}) = 0.9\). Sérieux, hein, ça me fait 0.24 plus 0.31. J'encadre et je prends le point. À vous de jouer ! Il nous en a mis juste en dessous.