Bibliothèque de contrôles

Le chapitre sur la fonction inverse est un pilier fondamental du programme de mathématiques en classe de Terminale STI2D. Sa maîtrise est absolument indispensable pour réussir l'épreuve du baccalauréat, car il fait le pont entre les manipulations algébriques pures et la modélisation de situations concrètes issues du domaine technologique ou industriel. Pour vous accompagner dans vos révisions, cette page propose un total de 3 contrôle(s) corrigé(s) à consulter pour un entraînement optimal. Chaque devoir surveillé a été soigneusement sélectionné pour sa pertinence et balaie l'intégralité des notions clés attendues : le calcul minutieux de dérivées, l'étude du signe, la construction de tableaux de variations, ainsi que la détermination d'extremums locaux ou globaux. En travaillant assidûment sur ces exercices corrigés, les élèves de Terminale STI2D pourront consolider leurs acquis de manière significative, vérifier leur compréhension des concepts et aborder sereinement leur prochain DS de mathématiques.

Contrôle Fonction inverse - sujet 1

Ce premier devoir surveillé, prévu pour une durée d'une heure, se concentre exclusivement sur les propriétés fondamentales de la fonction inverse. Le premier exercice, généreusement noté sur huit points, débute par un questionnaire vrai ou faux exigeant des justifications rigoureuses pour chaque affirmation. Il permet de tester en profondeur les connaissances de cours, comme le sens de variation de la fonction sur les intervalles strictement négatifs et strictement positifs, la mémorisation de la formule de la dérivée, ou encore l'évaluation intuitive de la limite de la fonction lorsque la variable se rapproche de zéro par valeurs positives. Une question très classique aborde également la représentation graphique, à savoir l'hyperbole, en rappelant que sa courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses. La seconde partie de cet exercice est purement calculatoire et demande aux élèves de dériver des sommes impliquant la fonction inverse, par exemple la fonction f de x égale à deux x plus trois divisé par x, puis de résoudre une équation du second degré pour trouver la valeur positive annulant cette dérivée.

Le deuxième exercice propose une mise en situation physique passionnante centrée sur la compression d'un gaz à température constante, modélisée mathématiquement par la loi de Boyle-Mariotte. Les élèves doivent d'abord exprimer la pression en fonction du volume, reconnaître une fonction inverse multipliée par une constante, puis étudier ses variations de manière analytique pour confirmer l'interprétation physique : la pression diminue lorsque le volume augmente. L'étude de la limite quand le volume tend vers zéro permet d'amorcer une réflexion pertinente sur les limites du modèle mathématique par rapport à la réalité physique tangible. Enfin, le dernier exercice mêle habilement l'algorithmique en langage Python et l'étude de fonction classique. Il s'agit de trouver le minimum d'une fonction de type x plus quatre divisé par x en exécutant un script de balayage étape par étape, puis de confirmer ce résultat analytiquement en dressant le tableau de variations complet, tout en discutant avec recul de la précision de la méthode informatique face à la résolution continue.

Contrôle Fonction inverse - sujet 2

Prévu pour une durée plus longue d'une heure et demie, ce deuxième contrôle corrigé offre un entraînement intensif, varié et particulièrement complet. Le premier exercice est un recueil de questions indépendantes qui passent en revue toutes les techniques algébriques indispensables. On y trouve l'étude rigoureuse des variations d'une fonction par le calcul de sa dérivée, ainsi que des manipulations consistant à scinder une fraction pour faciliter la dérivation d'une fonction complexe, comme l'expression x au cube plus deux, le tout divisé par x. Une question très intéressante demande également de retrouver les paramètres inconnus d'une fonction à partir de la lecture graphique des coordonnées de deux points appartenant à sa courbe, ce qui aboutit naturellement à la résolution d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Enfin, une simple résolution d'équation vient clôturer cette première phase d'évaluation technique.

Le deuxième exercice plonge les lycéens dans un problème d'optimisation très concret, typique des attentes de la filière STI2D : la modélisation du coût de production de pièces réalisées en impression 3D. À partir d'un polynôme du second degré représentant le coût total, l'élève doit exprimer le coût moyen de production, ce qui introduit organiquement la fonction inverse dans le problème. L'étude complète de cette fonction coût moyen, incluant le calcul de la dérivée, la résolution de l'équation pour trouver la quantité optimale et la construction du tableau de variations sur l'intervalle positif, permet de déterminer le nombre de pièces minimisant les dépenses. Une analyse critique est ensuite exigée pour vérifier si l'affirmation affirmant que produire plus réduit toujours les coûts est mathématiquement fondée. Le troisième exercice est particulièrement original puisqu'il demande d'analyser la copie d'un élève fictif. Ce dernier a confondu extremum local et extremum global lors de l'étude d'une fonction. Il faudra vérifier ses calculs initiaux, proposer un contre-exemple explicite, expliquer son erreur liée à l'oubli de l'étude des limites aux bornes du domaine, et rédiger minutieusement la conclusion mathématique correcte.

Contrôle Fonction inverse et suites - sujet 3

Ce troisième sujet de mathématiques propose une évaluation transversale enrichissante en associant le chapitre sur la fonction inverse à l'étude des suites géométriques. Le premier exercice est un grand classique des problèmes d'optimisation industrielle : déterminer les dimensions idéales d'une cuve de récupération d'eau de pluie, de forme cylindrique, pour minimiser la quantité de tôle nécessaire à sa fabrication. La première étape de modélisation exige d'exprimer la hauteur en fonction du rayon pour un volume fermement fixé à un mètre cube. L'expression de la surface totale fait alors apparaître un terme fractionnaire en deux sur r. L'étude approfondie de cette fonction surface nécessite de calculer la fonction dérivée, de trouver la valeur exacte annulant cette dérivée en résolvant une équation impliquant le rayon au cube, puis de dresser le tableau de variations pour identifier formellement le minimum. L'exercice se termine par une application numérique démontrant que la configuration matérielle optimale est atteinte lorsque la hauteur du cylindre est exactement égale à son diamètre, générant ainsi une économie de matière chiffrable en pourcentage.

Le second exercice s'éloigne de l'analyse continue pour aborder les suites géométriques à travers le problème industriel de l'encrassement progressif d'une pompe de relevage. Le débit initial diminue de cinq pour cent chaque mois, ce qui correspond mathématiquement à un coefficient multiplicateur constant de zéro virgule quatre-vingt-quinze. Après avoir prouvé la nature géométrique de la suite des débits et donné son expression explicite en fonction de l'indice n, les élèves doivent utiliser la fonction table de leur calculatrice pour déterminer le mois précis où le débit passe sous un certain seuil critique de fonctionnement. Une question d'approfondissement demande de calculer le volume total d'eau pompé sur les douze premiers mois, ce qui nécessite l'utilisation directe de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique. Ce calcul permet finalement d'évaluer la perte de rendement de l'installation en la comparant à une pompe idéale qui conserverait un débit constant, offrant ainsi une excellente préparation pour les problèmes de synthèse exigés le jour du bac.

En vous exerçant de manière assidue sur ces trois sujets complets, vous balayerez l'ensemble des compétences exigées en classe de Terminale STI2D sur ce chapitre central. L'association de la théorie mathématique pure, comme le calcul rigoureux de la fonction dérivée ou l'étude des limites, avec des problèmes de modélisation concrets est la véritable clé de la réussite dans cette filière technologique. Pour tirer le meilleur parti de cet entraînement et de cette correction détaillée, nous vous conseillons vivement de réaliser chaque devoir surveillé en conditions réelles d'examen, en respectant le temps imparti et sans calculatrice lorsque cela est précisé, avant de consulter le fichier PDF corrigé. L'analyse attentive de vos éventuelles erreurs à l'aide de chaque contrôle corrigé vous permettra de cibler vos révisions finales et de progresser efficacement vers l'excellence mathématique.