Introduction
Allez les amis, on est parti pour reconnaître très facilement les cas où on doit se servir du principe multiplicatif en dénombrement et comment est-ce qu'on va s'en servir en terme de calcul. On se fait ça tout de suite.
Exemple typique : la plaque d'immatriculation
Le cas typique c'est l'exercice qui est présenté juste ici, l'exercice de la plaque d'immatriculation. Dans une plaque d'immatriculation, il y a des chiffres et des lettres. Il y a au début deux emplacements pour les lettres, trois emplacements pour les chiffres, puis de nouveau deux emplacements pour les lettres. Comment calculer le nombre de possibilités ? On les prend dans l'ordre.
La première question est : est-ce que je travaille seul avec un seul ensemble ou avec plusieurs ensembles ? Donc là, la réponse est évidemment que vous ne travaillez pas avec un seul ensemble. Vous allez devoir choisir parmi les chiffres et parmi les lettres. Il y a certaines cases qui sont réservées aux chiffres, certaines cases qui sont réservées aux lettres. Donc clairement, vous n'êtes pas sur un seul ensemble, mais sur plusieurs ensembles.
Quel est le lien entre les ensembles ? C'est-à-dire, est-ce que je vais prendre des chiffres et des lettres et des chiffres, ou est-ce que je prends soit des chiffres soit des lettres soit des chiffres ? À moins que vous vous posiez vraiment la question de est-ce que vous avez déjà vu une plaque d'immatriculation où il y a que des chiffres ou que des lettres ? Évidemment, vous allez devoir choisir et des chiffres et des lettres. Donc le cas sur lequel on va travailler c'est un cas multiplicatif.
Calcul du nombre de possibilités
Maintenant, représentons l'exercice avec nos petites cases. Quand vous avez les deux premières cases, elles sont pour les lettres. Ensuite, vous avez trois cases pour les chiffres, puis de nouveau deux cases pour les lettres. Ces deux cases là, vous allez les remplir avec l'ensemble des lettres possibles, donc de A à Z, soit 26 éléments. Pareil pour ici, vous avez de A à Z, soit 26 éléments. Pour ce qui est des chiffres, vous avez un peu moins de choix, de 0 à 9 dans son ensemble, soit 10 éléments.
Du coup, il vous suffit de calculer cela, de calculer cela et de calculer cela. Ensuite, vu qu'on est sur un principe multiplicatif, vous allez prendre le résultat et le multiplier. Comment est-ce qu'on fait pour calculer ces trois blocs là ? Et bien, on reprend l'affichage. Cette fois-ci, on se retrouve avec un seul ensemble. Donc là, je dois choisir deux parmi 26, sachant que l'ordre compte et qu'il y a remise. C'est tout simplement \(26^2\). Ici, l'ordre compte, il y a remise, donc c'est \(10^3\). Et ici, l'ordre compte, il y a remise, donc c'est \(26^2\).
Mon résultat est donc \(26^2 \times 10^3 \times 26^2\). J'ai utilisé un principe multiplicatif et c'est aussi simple que ça. On dessine les différents ensembles sur lesquels on va travailler, on se dit est-ce que c'est un principe additif ou multiplicatif (en l'occurrence c'est un multiplicatif) et on fait les calculs.
Remarquez qu'on aurait pu voir les choses différemment. On aurait pu dire finalement, plutôt que d'avoir deux lettres, trois chiffres et deux lettres, ça reviendrait au même de se dire que je mets quatre lettres ici, auquel cas le résultat aurait été \(26^4 \times 10^3\). Et là, j'aurais eu du tout au tout, mais \(26^4\) et \(26^2 \times 26^2\), on arrive bien au même résultat.
On vous a mis des petits exercices. Si vous savez faire ça, vous savez tout faire. À vous de jouer.