Bibliothèque de contrôles

Cette page regroupe un total de 3 contrôles corrigés dédiés au chapitre des intégrales, un pilier incontournable du programme de mathématiques en classe de Terminale STI2D. Dans cette filière technologique, le calcul intégral n'est pas qu'une simple abstraction mathématique : il est l'outil privilégié pour modéliser des phénomènes physiques, évaluer des énergies consommées, ou encore analyser des mouvements en cinématique. Pour réussir votre devoir surveillé, il est indispensable de maîtriser parfaitement la recherche de primitives pour les fonctions usuelles, l'application du théorème fondamental de l'analyse, l'utilisation de la relation de Chasles, ainsi que le calcul de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle donné. En vous appuyant sur ces exercices corrigés et leur correction détaillée, vous disposez d'un entraînement optimal pour consolider vos acquis, vérifier votre compréhension géométrique des aires sous la courbe, et aborder sereinement les épreuves du baccalauréat. Chaque DS proposé ici cible des compétences précises, allant des automatismes de calcul pur jusqu'à la résolution de problèmes concrets en contexte industriel ou physique.

Contrôle Intégration - sujet 1

Ce premier devoir surveillé d'une durée d'une heure propose un tour d'horizon complet des notions de base. Le premier exercice vous plonge dans une situation concrète de modélisation physique : l'analyse de la vitesse du vent sur un site éolien au cours d'une période de huit heures, modélisée par une fonction polynomiale du second degré. Vous devrez d'abord vérifier les valeurs aux bornes de l'intervalle d'observation, puis faire preuve d'esprit critique face à une note de bureau d'études annonçant une vitesse moyenne erronée. L'exercice vous guide ensuite vers le calcul d'une primitive de la fonction vitesse afin d'évaluer l'intégrale définie, pour finalement appliquer la formule de la valeur moyenne d'une fonction et rétablir la vérité sur la vitesse moyenne réelle du vent.

Le deuxième exercice de ce contrôle est davantage axé sur la technique calculatoire. Vous y effectuerez le calcul direct de plusieurs intégrales balayant les fonctions usuelles du cours :

• Une fonction affine, avec une double approche mêlant recherche de primitive et géométrie via le calcul de l'aire d'un trapèze.
• La détermination de la primitive d'une fonction puissance.
• La recherche de la primitive de la fonction inverse en faisant appel au logarithme népérien.
• Le calcul intégral appliqué à une fonction exponentielle.

Une question supplémentaire vous fera retravailler la notion de valeur moyenne à l'aide d'une interprétation géométrique basée sur l'aire d'un rectangle. Enfin, le troisième exercice prend la forme d'un questionnaire vrai ou faux exigeant des justifications rigoureuses. Vous y testerez vos connaissances théoriques sur la définition de l'intégrale comme aire sous la courbe, la possibilité d'obtenir une intégrale négative, la maîtrise de la relation de Chasles, et vous devrez déjouer un piège classique sur la formule de la valeur moyenne à l'aide d'un contre-exemple numérique.

Contrôle Intégration - sujet 2

Ce deuxième sujet de contrôle corrigé constitue une ressource de révision redoutable pour valider vos méthodes. Il débute par une question ouverte très formatrice sur le concept de rectangle équivalent. En travaillant sur la fonction carré, votre mission consistera à déterminer la hauteur d'un rectangle dont l'aire serait strictement identique à la surface délimitée par la courbe de la fonction et l'axe des abscisses. Cette démarche vous fera calculer l'aire sous la courbe grâce à la primitive de la fonction carré, exprimer l'aire du rectangle, puis résoudre une équation pour finalement retrouver, par vous-même, la définition géométrique de la valeur moyenne d'une fonction.

La suite de ce DS comporte un questionnaire à choix multiples où la justification est reine. Vous y calculerez l'intégrale d'une fonction puissance du troisième degré, vous manipulerez habilement la relation de Chasles pour additionner des intégrales sur des intervalles adjacents, et vous calculerez l'intégrale d'une fonction constante en la reliant à l'aire d'un simple rectangle. L'épreuve se clôture par un vaste problème de modélisation centré sur l'énergie consommée par un atelier industriel. La puissance électrique y est décrite par un polynôme du second degré. Les différentes étapes de l'exercice sont les suivantes :

• Réaliser une étude de fonction complète incluant le calcul de la dérivée et le tableau de variation pour débusquer la puissance maximale.
• Déterminer une primitive de ce polynôme pour calculer l'énergie totale consommée sur une journée, qui correspond à l'intégrale de la puissance.
• Calculer la puissance électrique moyenne sur la période donnée.
• Mener une analyse critique des coûts par rapport à une limite d'abonnement, illustrant parfaitement l'utilité des mathématiques dans la prise de décision.

Contrôle Intégration et composition - sujet 3

Ce troisième et dernier entraînement est un devoir surveillé de deux heures, avec calculatrice autorisée, qui croise habilement l'intégration et la composition de fonctions. Le premier exercice est une application directe à la cinématique. La vitesse d'un chariot est modélisée par une fonction polynomiale du troisième degré. Dans une première partie dédiée à l'étude du mouvement, vous calculerez la fonction dérivée, étudierez son signe grâce à une forme factorisée, et dresserez le tableau de variation pour identifier la vitesse maximale atteinte. La seconde partie mobilise le calcul intégral pour déduire la distance parcourue, sachant que celle-ci est l'intégrale de la vitesse. Vous déterminerez une primitive de la fonction polynomiale pour calculer des intégrales définies sur différents intervalles de temps, avant de comparer la distance totale à la longueur d'une travée physique.

Le deuxième exercice de ce contrôle aborde l'intégration sous son aspect algorithmique et numérique grâce à la méthode des rectangles. À partir d'un script écrit en langage Python, vous devrez analyser la façon dont le programme approche l'aire sous la courbe d'une fonction carré croissante. Vous expliquerez pourquoi cette méthode des rectangles à gauche fournit une approximation par défaut, et vous conjecturerez la limite de cette somme lorsque le nombre de rectangles tend vers l'infini. Une réflexion sur la modification du code pour passer à une méthode des rectangles à droite vient enrichir cet exercice. Enfin, le dernier exercice se focalise sur les primitives de fonctions composées :

• Vous devrez prouver qu'une fonction exponentielle donnée est la primitive d'une autre en utilisant la formule de dérivation d'une exponentielle composée.
• Vous ferez de même avec une fonction puissance composée, en mobilisant la formule de dérivation adéquate.
• Ces vérifications préalables vous permettront ensuite de calculer très facilement les intégrales associées sur un intervalle donné.

En vous confrontant à l'ensemble de ces exercices corrigés, vous balayez l'intégralité des compétences exigibles en classe de Terminale STI2D sur ce chapitre. Ce travail de fond est la meilleure des préparations pour votre prochain contrôle ou pour le baccalauréat. Pour que vos révisions soient véritablement efficaces, nous vous conseillons de télécharger chaque sujet au format PDF, de chercher les solutions par vous-même en soignant la rédaction de vos calculs, et de ne consulter la correction détaillée qu'en cas de blocage ou pour valider vos résultats. Apprenez par cœur votre tableau des primitives usuelles, revoyez vos formules de dérivation, et prenez le temps de bien comprendre le sens physique de chaque intégrale calculée.