Bibliothèque de contrôles

Bienvenue sur cette page de révision consacrée au chapitre sur la composition de fonctions, une notion incontournable du programme de mathématiques en classe de Terminale STI2D. Cette étape de votre scolarité exige une maîtrise parfaite de l'étude de fonctions, et plus particulièrement des techniques de dérivation en chaîne. Pour vous accompagner dans vos révisions, nous avons regroupé ici un total de 5 contrôles corrigés. Ces devoirs surveillés, accompagnés de leur correction détaillée, constituent un entraînement idéal pour vous préparer efficacement. Que vous cherchiez à vérifier vos calculs de dérivées, à comprendre vos erreurs dans les tableaux de variations ou à vous tester sur des problèmes concrets d'optimisation, ces exercices corrigés vous fourniront toutes les clés pour réussir votre prochain devoir surveillé.

Contrôle Composition de fonctions - sujet 1

Ce premier contrôle corrigé propose une évaluation complète d'une heure sur les fondamentaux du chapitre. L'exercice 1 débute par un questionnaire Vrai ou Faux pour vérifier votre bonne compréhension de la notion de composée avec des fonctions simples, comme l'association de la fonction x plus trois et de la fonction carré, ou encore avec la fonction sinus. Vous devrez ensuite calculer la dérivée d'expressions telles que cinq x moins deux le tout au cube, en appliquant rigoureusement la formule de dérivation d'une puissance sans oublier le terme dérivé interne. La suite de l'exercice vous fait travailler sur des dérivées de fonctions inverses et trigonométriques composées. L'exercice 2 vous plonge dans un problème concret d'éclairage d'un poste de travail. Vous étudierez une fonction rationnelle modélisant l'éclairement en fonction de la distance. Après l'avoir réécrite avec un exposant négatif, vous calculerez sa dérivée pour démontrer que l'éclairement diminue avec l'éloignement, avant de résoudre une inéquation pour trouver une distance maximale d'installation. Enfin, l'exercice 3 explore l'ordre de la composition, prouvant par le calcul que composer u par v n'est généralement pas équivalent à composer v par u. Une équation du second degré permet de trouver l'unique cas d'égalité, une recherche ensuite modélisée par un algorithme en langage Python dont vous devrez analyser les limites.

Contrôle Composition de fonctions - sujet 2

Ce deuxième devoir surveillé d'une durée d'une heure et demie vous invite à consolider vos acquis à travers trois exercices variés. Le premier exercice prend la forme de quatre questions indépendantes. Vous y trouverez un questionnaire à choix multiples sur la dérivée d'une fonction puissance à l'exposant quatre, le calcul du nombre dérivé d'une fonction trigonométrique composée en un point précis du cercle trigonométrique, l'utilisation d'un tableau de valeurs pour appliquer la formule de dérivation en chaîne, et enfin la résolution d'une équation impliquant le carré d'une fonction inverse. L'exercice 2 est un problème de modélisation industrielle très typique de la filière Terminale STI2D. Il s'agit d'étudier le refroidissement d'une pièce de fonderie en acier. Vous devrez calculer la dérivée de la fonction de température, dresser son tableau de variations pour confirmer le refroidissement, et surtout interpréter physiquement le nombre dérivé comme une vitesse instantanée de refroidissement. L'exercice se clôture par une recherche de limite à l'infini. Le troisième et dernier exercice est particulièrement original : on vous demande d'analyser la copie d'un élève virtuel. Vous devrez repérer son oubli classique lors de la dérivation d'un polynôme au cube, prouver son erreur par un contre-exemple simple, puis réaliser l'étude complète et exacte de la fonction en démontrant que le polynôme interne reste toujours strictement positif.

Contrôle Composition de fonctions et fonction inverse - sujet 3

Ce troisième sujet de mathématiques propose un entraînement intensif de deux heures, calculatrice autorisée, centré sur l'optimisation et la fonction inverse. Le premier grand exercice est un problème de physique visant à maximiser la puissance électrique reçue par une charge. Vous guidant pas à pas, l'énoncé vous fait calculer la dérivée d'un quotient complexe en utilisant la règle du produit associée à un exposant négatif. L'objectif est d'établir le tableau de variation complet pour dénicher la valeur de la résistance qui offre la puissance maximale. Une fois ce cas particulier résolu, la dernière partie de l'exercice vous demande de faire preuve d'autonomie en généralisant la démonstration avec des paramètres littéraux, une excellente pratique pour l'abstraction. Le second exercice s'attaque à la fonction inverse dans un contexte économique. Vous étudierez le coût moyen de production d'un atelier de découpe. Après quelques manipulations algébriques pour isoler la fonction inverse, vous dériverez le coût moyen pour prouver qu'il diminue lorsque la production augmente. Vous devrez également résoudre une inéquation pour garantir un coût inférieur à dix euros, et interpréter la limite du modèle lorsque le nombre de pièces fabriquées devient très grand, illustrant ainsi le poids des charges fixes.

Contrôle Fonction exponentielle et composition - sujet 3

Ce quatrième DS intègre une nouvelle difficulté en mêlant la composition de fonctions à la fonction exponentielle. L'exercice 1 modélise la vibration résiduelle d'un bâti de machine industrielle. La première partie teste votre esprit critique : vous devrez prouver, en calculant une simple valeur intermédiaire, que deux points de mesure ne suffisent pas pour affirmer qu'une fonction est décroissante. L'étude complète exige ensuite de dériver un produit impliquant une exponentielle composée. Le tableau de variations vous mènera au pic de vibration, tandis la limite à l'infini nécessitera le théorème des croissances comparées. L'exercice 2 prend la forme d'une question ouverte passionnante sur le choix d'un amortisseur. En introduisant un paramètre d'amortissement dans le modèle précédent, vous devrez refaire l'étude de façon littérale pour prouver qu'augmenter ce paramètre permet de réduire l'intensité de la vibration maximale et de l'atteindre plus vite. Enfin, l'exercice 3 est un pur contrôle technique. Il vous demande de dériver deux fonctions composées complexes : un polynôme à la puissance quatre, puis l'exponentielle d'un polynôme du second degré, afin d'en déduire le minimum de cette dernière sur l'ensemble des réels.

Contrôle Intégration et composition - sujet 3

Ce dernier contrôle corrigé élargit le spectre des compétences en associant la composition de fonctions au calcul intégral. L'exercice 1 étudie la distance parcourue par un chariot. À partir d'une fonction polynomiale décrivant la vitesse, vous calculerez la dérivée pour trouver l'instant de vitesse maximale. Ensuite, en déterminant une primitive, vous appliquerez la formule de l'intégrale pour calculer la distance totale et vérifier si le chariot dépasse la longueur de sa travée. L'exercice 2 propose une approche algorithmique de l'intégrale avec la méthode des rectangles. À l'aide d'un script Python, vous approcherez l'aire sous la courbe d'une fonction carré. Vous devrez expliquer pourquoi la méthode des rectangles à gauche donne ici une approximation par défaut, formuler une conjecture sur la limite lorsque le nombre de rectangles augmente, et réfléchir aux modifications à apporter au code pour obtenir une approximation par excès. Pour terminer, l'exercice 3 revient au cœur de la composition en vous demandant de vérifier des primitives de fonctions composées. Vous devrez dériver des expressions de la forme exponentielle de u et u à la puissance n pour confirmer qu'elles sont bien les primitives cherchées, avant de vous en servir pour calculer la valeur exacte de deux intégrales définies.

En travaillant sérieusement sur l'ensemble de ces devoirs surveillés, vous balayerez toutes les attentes du programme de Terminale STI2D sur ce chapitre. La diversité de ces exercices corrigés vous permet de consolider vos techniques de calcul, de la simple dérivée aux problèmes d'optimisation complexes. Avant votre DS, nous vous conseillons de télécharger ces sujets au format PDF, de les chercher en conditions réelles, puis de confronter vos résultats à notre correction détaillée. C'est la meilleure méthode de révision pour identifier vos points faibles, mémoriser vos formules de dérivation, et aborder votre prochain contrôle avec une totale confiance.