Bibliothèque de contrôles

Cette page regroupe un total de 3 contrôles corrigés pour vous entraîner de manière optimale sur le chapitre de la composition de fonctions en classe de Terminale STI2D. Ce chapitre occupe une place centrale dans le programme de mathématiques, car il consolide l'étude de fonctions et prépare aux notions plus complexes exigées pour le baccalauréat. Pour réussir dans ce domaine, il est indispensable de maîtriser plusieurs compétences fondamentales : savoir reconnaître et décomposer une fonction composée, appliquer sans erreur les formules de dérivation en chaîne, et utiliser ces outils analytiques pour résoudre des problèmes concrets issus de la physique ou de l'économie. En vous exerçant sur chaque devoir surveillé proposé ici, vous bénéficierez d'une correction détaillée qui vous guidera pas à pas. Ces exercices corrigés constituent un entraînement idéal pour cibler vos difficultés, comprendre vos erreurs et aborder sereinement votre prochain DS.

Contrôle Composition de fonctions - sujet 1

Ce premier devoir surveillé d'une heure propose une évaluation complète des bases de la composition de fonctions. L'exercice un vise à vérifier vos connaissances fondamentales à travers deux parties distinctes. La première partie prend la forme d'un Vrai ou Faux où vous devrez :

• calculer l'expression de la composée de deux fonctions simples, comme par exemple u de x égal x plus trois et v de x égal x au carré, ou encore avec la fonction sinus ;
• dériver une fonction affine au cube ;
• identifier la décomposition d'une fonction cosinus.

La seconde partie de cet exercice est purement calculatoire : vous devrez déterminer les dérivées de plusieurs fonctions composées, incluant des puissances de polynômes, une fonction inverse et des fonctions trigonométriques comme le sinus de deux x. Le deuxième exercice vous plonge dans un problème d'application concret concernant l'éclairage d'un poste de travail. Vous étudierez une fonction représentant l'éclairement d'un projecteur en fonction de la distance. Après avoir réécrit l'expression sous la forme d'une puissance négative pour faciliter la dérivation, vous calculerez sa dérivée, étudierez son signe et déduirez que la fonction est strictement décroissante. L'exercice s'achève par la résolution d'une inéquation pour trouver la distance d'installation maximale. Enfin, le troisième exercice aborde la non-commutativité de la composition à travers un exemple précis. Vous devrez résoudre une équation du second degré pour trouver l'unique cas d'égalité, puis analyser un algorithme en langage Python conçu pour chercher des solutions entières sur un intervalle donné, tout en discutant des limites de ce type de programme informatique.

Contrôle Composition de fonctions - sujet 2

Ce second contrôle corrigé, prévu pour une durée d'une heure et trente minutes, constitue une ressource pédagogique riche pour vos révisions. L'exercice un est composé de quatre questions indépendantes balayant les compétences essentielles :

• un questionnaire à choix multiples sur la dérivée d'une fonction puissance à la puissance quatre ;
• la dérivation d'une fonction trigonométrique composée impliquant un sinus, évaluée en pi sur six ;
• le calcul d'un nombre dérivé à partir d'un tableau de valeurs en appliquant la formule de dérivation en chaîne ;
• la résolution d'une équation impliquant l'inverse d'un carré.

L'exercice deux est un grand classique de la filière STI2D : la modélisation du refroidissement d'une pièce métallique en sortie de four. À partir d'une fonction modélisant la température au fil du temps, vous vérifierez la cohérence du modèle par des calculs d'images, puis vous déterminerez la fonction dérivée. L'étude du signe de cette dérivée permettra de justifier la décroissance de la température. Une question particulièrement intéressante vous demandera d'interpréter physiquement le nombre dérivé comme la vitesse instantanée de refroidissement. L'exercice se termine par la résolution d'une équation pour savoir quand la pièce atteint cinquante degrés Celsius, et par une introduction à la notion de limite pour trouver la température minimale théorique. Enfin, le troisième exercice est très formateur car il vous propose d'analyser la copie d'un autre élève étudiant un polynôme au cube. Vous devrez repérer son erreur classique d'oubli de la dérivée interne lors de la dérivation, prouver que sa conclusion est fausse à l'aide d'un contre-exemple, puis reprendre l'étude de fonction de manière exacte en utilisant la forme canonique pour justifier le signe du polynôme du second degré.

Contrôle Composition de fonctions et fonction inverse - sujet 3

Ce troisième devoir surveillé de deux heures élargit le champ des révisions en associant la composition de fonctions à l'étude de la fonction inverse. Le premier exercice, noté sur quatorze points, est un problème d'optimisation en physique électrique. Son but est de trouver la résistance idéale pour maximiser la puissance reçue par une charge. Après de premiers calculs numériques d'images servant à réfuter une affirmation, vous serez guidé pas à pas dans une étude de fonction complexe. L'énoncé vous suggère d'utiliser les règles de dérivation d'un produit et d'une fonction composée à puissance négative pour dériver l'expression de la puissance. Vous construirez ensuite le tableau de variation complet sur l'intervalle des réels strictement positifs pour déterminer l'extremum. La dernière partie de cet exercice évalue votre autonomie en vous demandant de refaire toute la démarche de manière littérale, avec des paramètres généraux, pour prouver que la puissance est maximale quand les résistances sont égales.

Le deuxième exercice se penche sur la fonction inverse à travers un problème économique d'atelier de découpe. Vous étudierez le coût moyen de production par pièce. Après quelques manipulations algébriques pour réécrire la formule du coût moyen, vous calculerez sa dérivée en utilisant les propriétés de la fonction inverse. L'étude du signe de cette dérivée mettra en évidence que le coût moyen unitaire diminue quand le volume de production augmente. Vous devrez également résoudre une inéquation rationnelle pour déterminer la quantité minimale de pièces à fabriquer afin de rester sous un certain seuil de coût. La conclusion de cet exercice aborde le comportement asymptotique de la fonction pour de très grandes quantités, illustrant l'impact des charges fixes.

En téléchargeant chaque PDF et en travaillant sérieusement sur l'ensemble de ces sujets, l'élève de Terminale s'assure de consolider ses acquis sur l'analyse mathématique. La confrontation avec des problèmes variés, allant de la simple application de formules à la modélisation de situations réelles en électricité, en thermique ou en économie, permet de donner du sens aux calculs. Avant de vous lancer dans un contrôle, nous vous conseillons de revoir attentivement vos formules de dérivation usuelles, de bien identifier la structure des fonctions avant de dériver, et de toujours vérifier la cohérence physique de vos tableaux de variation. Profitez de chaque correction détaillée pour comprendre la méthodologie attendue et transformer vos erreurs en axes d'amélioration. Bon entraînement et bonnes révisions !