Bibliothèque de contrôles

Le chapitre sur les équations différentielles constitue un pilier fondamental du programme de mathématiques en classe de Terminale STI2D. Cette notion est absolument indispensable car elle permet de faire le lien direct avec les sciences physiques et l'ingénierie, notamment pour modéliser des circuits électriques ou des phénomènes thermiques. Pour réussir dans ce domaine, il est essentiel de maîtriser parfaitement la résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre, qu'elles soient de la forme y prime égal a y, ou de la forme y prime égal a y plus b. Les élèves doivent également être capables d'utiliser une condition initiale pour déterminer l'unique solution d'un problème donné, et savoir dériver des fonctions comportant une exponentielle. Afin de vous accompagner dans vos révisions et de vous préparer au mieux pour le baccalauréat, cette page regroupe un total de 3 contrôles corrigés. Ces devoirs surveillés, accompagnés de leur correction détaillée, constituent un entraînement idéal pour cibler vos points faibles et consolider vos acquis avant le jour de l'évaluation.

Contrôle Équations différentielles - sujet 1

Ce premier devoir surveillé, d'une durée d'une heure, propose une évaluation complète des compétences de base sur les équations différentielles au programme de Terminale STI2D. L'épreuve est divisée en trois exercices distincts, avec l'autorisation d'utiliser la calculatrice :

• Un questionnaire à choix multiples (6 points) : Il exige de justifier chaque réponse pour vérifier la connaissance des formules du cours, notamment la résolution d'une équation simple du type y prime égal trois y, la recherche d'une solution particulière constante pour l'équation y prime égal moins deux y plus six, et la vérification qu'une fonction spécifique, comme cinq fois l'exponentielle de moins x, est bien solution d'une équation donnée.
• L'analyse d'une copie d'élève (6 points) : Cet exercice très formateur demande de trouver la solution de l'équation y prime égal moins deux y plus six avec la condition initiale y de zéro égal un. Vous devrez identifier les étapes correctes, repérer l'erreur de l'élève qui a confondu la constante avec la solution particulière, et mener à bien la résolution complète.
• Reconnaître et résoudre (8 points) : Ce dernier exercice évalue votre capacité à vérifier qu'une fonction avec une exponentielle de cinq x est solution, à résoudre directement y prime égal moins zéro virgule cinq y, et à traiter un problème complet avec condition initiale. Il teste aussi votre compréhension sur des équations atypiques, en vérifiant si la fonction inverse ou une fonction carré sont des solutions.

Contrôle Équations différentielles - sujet 2

Ce deuxième sujet de mathématiques, prévu pour une durée d'une heure et trente minutes, met l'accent sur la modélisation de situations physiques concrètes, une compétence clé en Terminale STI2D. Le premier exercice sur six points vous plonge dans le domaine de l'électronique avec l'étude de la charge d'un condensateur à travers une résistance. À partir de deux fiches de montage, vous devrez traduire les données physiques en une équation différentielle, puis vérifier que la solution fournie respecte bien la condition initiale où la tension est nulle à l'instant zéro. Il vous sera également demandé de calculer la tension au bout d'une seconde, d'interpréter physiquement la constante de temps du circuit pour montrer que le condensateur est chargé à environ soixante-trois pour cent, et de rédiger une correction technique.

Le deuxième exercice sur huit points prolonge cette thématique par une étude mathématique approfondie de la fonction modélisant la tension, qui s'exprime avec une exponentielle de moins t. Vous travaillerez sur le calcul de la dérivée, l'étude du signe pour en déduire les variations, et le calcul de la limite lorsque le temps tend vers l'infini. Une question de résolution d'équation utilisant le logarithme népérien vous demandera de trouver l'instant exact où la tension atteint onze volts. Enfin, le dernier exercice aborde l'approximation numérique avec la méthode d'Euler. Vous devrez dérouler un algorithme avec un pas de zéro virgule cinq pour approcher la fonction exponentielle, comparer les résultats pour différents pas, et expliquer pourquoi cette méthode sous-estime la valeur réelle en faisant appel à la notion de convexité de la courbe.

Contrôle Équations différentielles et exponentielle - sujet 3

Ce troisième devoir surveillé combine brillamment l'étude des équations différentielles et de la fonction exponentielle. Le sujet débute par un exercice de type vrai ou faux où chaque affirmation nécessite une justification mathématique rigoureuse. Vous devrez mobiliser vos connaissances pour confirmer qu'une équation du type y prime égal a y possède une infinité de solutions, démontrer la propriété de linéarité, utiliser le théorème garantissant l'unicité d'une solution sous condition initiale, et vérifier par le calcul que la fonction nulle n'est pas solution d'une équation précise.

La suite de ce contrôle est un problème concret basé sur la loi de refroidissement de Newton, modélisant la baisse de température d'une serre. Vous devrez transformer l'équation différentielle pour identifier la température d'équilibre de cinq degrés, puis déterminer la solution unique avec une condition initiale de vingt degrés. La deuxième partie exploite cette solution explicite : calcul de températures, étude des variations via le signe de la dérivée, et utilisation du logarithme népérien pour savoir quand la serre atteindra huit degrés. La dernière partie invite à une analyse du modèle en calculant la limite de la température à long terme, et en étudiant l'impact d'une meilleure isolation sur le coefficient de l'équation, ce qui modifie considérablement le temps de refroidissement.

S'entraîner régulièrement sur ce type de devoir surveillé est la meilleure stratégie pour réussir son année de mathématiques. En travaillant sur ces exercices corrigés, vous apprendrez à ne plus redouter les calculs impliquant des fonctions exponentielles ou des logarithmes, et vous automatiserez les méthodes de résolution des équations différentielles. Pour une révision efficace, nous vous conseillons de télécharger chaque PDF, de chercher les exercices en conditions réelles, sans regarder vos notes, puis de confronter votre travail à la correction détaillée. Cette démarche active vous permettra d'identifier vos erreurs fréquentes, de peaufiner votre rédaction et d'arriver en toute confiance le jour de votre prochain DS.