Bibliothèque de contrôles

Le chapitre sur la dérivation globale occupe une place centrale dans le programme de mathématiques de la classe de Première STI2D. C'est une notion charnière qui permet d'analyser les variations des fonctions et de résoudre des problèmes d'optimisation concrets, des compétences indispensables pour les futurs techniciens et ingénieurs. Pour réussir dans ce domaine, il est essentiel de maîtriser parfaitement la lecture graphique des nombres dérivés, les techniques de calcul des fonctions dérivées usuelles, ainsi que la détermination de l'équation d'une tangente. Afin de vous accompagner dans vos révisions et de vous préparer au mieux pour vos prochaines évaluations, cette page vous propose un total de 1 contrôle(s) corrigé(s). Ce devoir surveillé, conçu spécifiquement pour le niveau Première STI2D, est une ressource précieuse pour évaluer vos acquis. Grâce à une correction détaillée, chaque élève peut s'entraîner en autonomie, repérer ses éventuelles erreurs et consolider ses méthodes de résolution. Que vous soyez à la recherche d'exercices corrigés pour approfondir le cours ou d'un véritable entraînement en conditions réelles, ce support répondra à vos attentes.

Contrôle Dérivation - sujet 1

Ce premier devoir surveillé, d'une durée d'une heure et trente minutes avec l'usage de la calculatrice autorisé, balaie de manière exhaustive les notions de dérivation locale et globale. Il est structuré en quatre exercices progressifs qui testent à la fois la compréhension visuelle et la virtuosité calculatoire. Le premier exercice est consacré à la lecture graphique. À partir de la courbe représentative d'une fonction et du tracé de deux de ses tangentes, vous devrez tout d'abord lire les coordonnées de points spécifiques pour en déduire des images, comme l'image de zéro qui vaut quatre, ou l'image de un qui vaut deux. Ensuite, le sujet évalue votre capacité à déterminer graphiquement un nombre dérivé, qui correspond au coefficient directeur de la tangente. En utilisant les coordonnées du point d'abscisse zéro et d'un autre point de la droite de coordonnées un et un, vous calculerez un coefficient directeur égal à moins trois. Pour la seconde tangente au point d'abscisse un, qui est horizontale, vous en déduirez que le nombre dérivé est nul. L'exercice se poursuit avec la détermination de l'équation réduite de la première tangente en appliquant la formule du cours, pour aboutir à l'équation y égale moins trois x plus quatre. Enfin, vous devrez calculer le taux de variation de la fonction entre zéro et deux. Sachant que l'image de deux est six, le calcul donne un taux de variation de un, ce qui représente graphiquement la pente de la droite sécante reliant ces deux points de la courbe.

Le deuxième exercice propose un entraînement intensif sur les calculs purs de fonctions dérivées. Il s'agit d'un passage obligé pour maîtriser la dérivation globale. Vous serez amené à dériver quatre fonctions distinctes. La première fonction est un polynôme du second degré, défini par quatre x au carré moins cinq x plus un, dont la dérivée est huit x moins cinq. La deuxième est une fonction du troisième degré, deux x au cube moins x au carré plus sept, qui donne une dérivée égale à six x au carré moins deux x. La troisième suit la même logique, avec moins zéro virgule cinq x au cube plus trois x, dont la fonction dérivée est moins un virgule cinq x au carré plus trois. La quatrième fonction est présentée sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré : deux x moins un facteur de x plus trois. Il faudra alors utiliser la formule de dérivation d'un produit pour trouver la fonction dérivée finale, qui s'exprime sous la forme quatre x plus cinq. La seconde partie de cet exercice vous demande de réinvestir ces calculs pour déterminer algébriquement l'équation d'une tangente à la courbe de la première fonction au point d'abscisse un. Vous devrez calculer l'image de un, qui vaut zéro, et le nombre dérivé en un, qui vaut trois, pour aboutir à l'équation y égale trois x moins trois.

Le troisième exercice vous plonge dans un problème d'optimisation très classique : la recherche de la boîte de plus grand volume. À partir d'une plaque carrée de trente centimètres de côté, on découpe un carré de côté x à chaque coin. La première étape consiste à modéliser la situation en exprimant le volume de la boîte en fonction de cette hauteur x. Vous démontrerez que ce volume correspond à la fonction polynomiale quatre x au cube moins cent vingt x au carré plus neuf cents x. La résolution passe ensuite par le calcul de la fonction dérivée, que vous factoriserez sous la forme douze facteur de x moins cinq, facteur de x moins quinze. L'étude du signe de cette dérivée sur l'intervalle allant de zéro à quinze vous permettra de dresser le tableau de variation du volume. L'analyse mettra en évidence un maximum atteint pour une hauteur de cinq centimètres, donnant un volume maximal de deux mille centimètres cubes. Une dernière question fait appel au théorème des valeurs intermédiaires. En calculant que le volume pour une hauteur de deux centimètres est de mille trois cent cinquante-deux centimètres cubes, vous justifierez qu'il est possible d'obtenir un volume intermédiaire de mille cinq cents centimètres cubes.

Enfin, le quatrième et dernier exercice prend la forme d'un questionnaire vrai ou faux visant à vérifier votre compréhension théorique des concepts de dérivation. Vous devrez vous prononcer sur trois affirmations. La première affirmation porte sur le lien entre un nombre dérivé nul et l'horizontalité de la tangente, ce qui est vrai par définition. La deuxième affirmation est fausse : elle teste la connaissance de la dérivée de la fonction cube, qui se calcule avec la formule de dérivation des puissances pour donner la fonction qui à x associe trois x au carré. La troisième affirmation vous demande de valider le sens de variation d'une fonction polynomiale du troisième degré, définie par x au cube plus x. En calculant sa dérivée, qui vaut trois x au carré plus un, et en remarquant qu'un carré est toujours positif ou nul, vous démontrerez que cette dérivée est strictement positive sur l'ensemble des réels. L'affirmation selon laquelle la fonction est strictement croissante est donc vraie.

En vous confrontant à ce sujet complet, vous travaillez l'ensemble des compétences exigibles sur le chapitre de la dérivation globale en classe de Première STI2D. Ce devoir surveillé balaye aussi bien les aspects graphiques et géométriques que les techniques algébriques et les applications concrètes d'optimisation. Pour tirer le meilleur parti de cet entraînement, nous vous conseillons de réviser attentivement votre cours avant de vous lancer. Apprenez par cœur les formules des dérivées des fonctions usuelles ainsi que les règles d'opérations sur les dérivées, notamment la formule du produit. Assurez-vous également de bien comprendre le lien fondamental entre le signe de la fonction dérivée et les variations de la fonction initiale. Réalisez ce contrôle corrigé dans les conditions réelles, c'est-à-dire en vous accordant une heure et demie, au calme, avec votre calculatrice mais sans regarder la correction détaillée. Ce n'est qu'une fois votre travail terminé que vous pourrez utiliser le document PDF pour analyser vos erreurs, comprendre les étapes de calcul qui vous ont posé problème et perfectionner la rédaction de vos justifications. Un entraînement régulier avec des exercices corrigés est la clé de la réussite en mathématiques !