4. Dérivée de quotients de fonctions

Introduction

Allez les amis, c'est parti pour la plus fameuse des formules de dérivation, la formule de \(u/v\). On y va pour dériver un quotient fonction. Par exemple, prenons ce quotient là : \( \frac{3x - 2}{x + 1}\). Une erreur que vous allez faire, et que vous allez faire trente fois, c'est de me dire que quand j'ai \( \frac{3x - 2}{x + 1}\) et que je veux le dériver, je dérive le haut, donc la dérivée de \(3x - 2\) est \(3\), et je dérive le bas, la dérivée de \(x + 1\) est \(1\), mais ça me fait \(3\), et je prends 0 points. Pourquoi ? Parce que quand on dérive une fonction divisée par une autre, autrement dit quand je dérive \( \frac{3x - 2}{x + 1}\), la dérivée de cet objet là, c'est \( \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

Application de la formule

Donc si \(u\) c'est \(3x - 2\) et \(v\) c'est \(x + 1\), alors \(f'(x)\) ça va être \( \frac{u'v - uv'}{v^2}\). Pour faire ce genre d'exercice, il faut être ultra précis, parce que vous allez voir que la plupart des erreurs que vous allez faire, c'est que vous n'avez pas vu que c'était un \(u/v\). Vous dérivez \(u\) divisé par la dérivée de \(v\), vous n'avez rien compris. Et le deuxième type d'erreur, c'est que vous allez vous tromper avec des trucs vraiment bêtes, comme des \(+\) et des \(-\) qui disparaissent. Donc on commence, on dit \(u(x) = 3x - 2\) et \(v(x) = x + 1\). Maintenant, les dérivées : \(u'(x)\) c'est donc \(3\) et \(v'(x)\) c'est donc \(1\). Alors \(f'(x)\) on écrit la formule, c'est \( \frac{u'v - uv'}{v^2}\) et là on peut remplacer \(u'\) par \(3\), \(v\) par \(x + 1\), \(u\) par \(3x - 2\) et \(v'\) par \(1\). Donc ça fait \( \frac{3(x + 1) - (3x - 2)}{(x + 1)^2}\). Et là on est bien, sauf que ce truc, on va l'arranger. Donc c'est là que vous vous trompez en général.

Arrangement de l'expression

Quand je développe ça fait \(3x + 3 - 3x + 2\), je change les signes donc ça me fait \(-3x + 2\) sur \((x + 1)^2\). \(3x - 3x\) ça simplifie, \(3 + 2\) sur \((x + 1)^2\), en vrai c'est débile, c'est là que c'est vraiment le un type d'exercice qui est débile et pourtant vous allez voir que vous allez perdre des quantités de points là-dessus. C'est aussi terrible que la facilité de l'exercice. Pourquoi vous allez vous tromper là ? En gros, dans ce passage là, vous avez une chance sur trois d'oublier que quand il y a un moins, il faut le distribuer. C'est sûr que c'est une erreur, car si vous vous trompez là, c'est à dire que vous avez cru que \(u'/v'\) c'est \(u'/v'\), non pas du tout, c'est \(u'v - uv'\) sur \(v^2\). La deuxième formule, quand vous regardez ce truc là, il y a au moins trois manières de faire. La première, celle utilisée, la compétence qu'on avait juste à main, donc ça c'est une composée de fonction. \(f(x) = \frac{1}{x}\) donc \(f'(x) = \frac{-1}{x^2}\), donc ça, si vous allez voir la compétence d'avance, une manière de le résoudre. Une deuxième manière, c'est \(u/v\) avec \(u = 1\) et \(v = 2x + 2\), c'est à dire de faire exactement comme ici, ça marche aussi. La technique qu'on va utiliser pour sa troisième manière, c'est \(u/v\), donc je reconnais que ça, c'est \(1/x\) avec \(u = 1\) et \(v = 2x + 2\), donc \(v'(x)\) il vaut \(2\). Alors j'applique la formule qui s'affiche, \(f'(x)\) c'est donc \(-u'v/v^2\), et moi \(u' = 0\), donc ça me fait \(-0/(2x + 2)^2\), donc ça me fait \(0\).

Conclusion

Avant que vous passiez aux exercices, c'est une question que je voudrais vous poser. Dans les deux cas ici et ici, on voit qu'on a un carré sur le dénominateur. La question c'est : est-ce qu'on va le développer ce carré ou est-ce qu'on va le laisser comme ça ? Évidemment, comme dans 99% des cas, on développe que quand on est acculé au mur et qu'on n'a pas le choix. Dans la plupart des cas, la forme factorisée est beaucoup plus puissante que la forme développée. Vous allez comprendre quand on va faire les tableaux de variation, pourquoi il faut la laisser sous forme d'un carré, parce qu'un carré, c'est tout le temps positif. Allez, je ne vous en dis pas plus, faites les exercices en dessous, entraînez-vous, faites-en un ou deux, si vous voyez bien que ça marche. Dans tous les cas, vous allez en avoir, avoir un ordre à vous tous. [Musique]