Bibliothèque de contrôles

Le chapitre sur les polynômes du second degré constitue une étape fondamentale du programme de mathématiques en classe de Première STI2D. C'est un socle incontournable qui permet de consolider les bases algébriques acquises les années précédentes tout en introduisant de nouveaux outils d'analyse fonctionnelle indispensables pour la poursuite d'études technologiques et scientifiques. Dans cette filière où les applications concrètes sont au cœur des apprentissages, maîtriser les fonctions quadratiques est essentiel. Les élèves doivent être capables de passer d'une forme à une autre, qu'elle soit développée, factorisée ou canonique, afin de résoudre des équations, d'étudier le signe d'une expression ou de déterminer les variations d'une fonction. Ce chapitre fait également le pont avec d'autres disciplines, comme la physique, où les paraboles modélisent de nombreux phénomènes réels. Pour vous accompagner dans votre réussite, cette page vous propose exactement 1 contrôle corrigé de mathématiques spécifiquement dédié à cette thématique. Ce devoir surveillé, accompagné de sa correction détaillée, constitue une ressource de révision idéale. S'entraîner sur ce sujet permet d'évaluer ses connaissances, d'identifier ses éventuelles lacunes et d'aborder les prochaines évaluations avec sérénité et confiance.

Contrôle Polynômes de degré 2 et 3 - sujet 1

Ce premier DS est conçu pour être réalisé en une heure, avec l'usage de la calculatrice autorisé. Il propose une exploration complète des compétences attendues à travers trois exercices variés. Le premier exercice, noté sur six points, est consacré à l'étude exhaustive d'une parabole sous toutes ses formes. On y analyse une fonction polynôme du second degré nommée f, définie sur l'intervalle allant de zéro à six par l'expression factorisée f de x égale moins deux facteur de x moins un facteur de x moins cinq. Une représentation graphique est fournie pour aider l'élève. Voici les étapes clés de cet exercice :

• Identification des racines : l'élève doit résoudre l'équation f de x égale zéro, une démarche rendue immédiate par la forme factorisée de l'expression.
• Orientation de la parabole : il faut justifier si la courbe est tournée vers le haut ou vers le bas en s'appuyant sur le signe du coefficient dominant, qui vaut ici moins deux.
• Éléments géométriques : la détermination de l'équation de l'axe de symétrie, situé au milieu des racines, et le calcul des coordonnées précises du sommet de la parabole sont exigés.
• Manipulation algébrique : l'exercice se poursuit avec le développement de l'expression initiale pour aboutir à la forme standard f de x égale moins deux x au carré plus douze x moins dix.
• Étude de signe : l'élève doit construire le tableau de signes de la fonction sur son intervalle de définition en utilisant les racines trouvées.
• Résolution d'équation : la dernière question demande de résoudre l'équation f de x égale six, d'abord par lecture graphique, puis par un calcul rigoureux en utilisant l'identité f de x moins six égale moins deux facteur de x moins deux facteur de x moins quatre.

Le deuxième exercice, également sur six points, plonge l'élève dans un problème concret de modélisation physique : l'étude de la trajectoire d'un jet d'eau. La hauteur du jet est modélisée par la fonction quadratique h de x égale moins zéro virgule cinq x facteur de x moins six, où x désigne la distance horizontale parcourue. Les questions abordent les points suivants :

• Interprétation physique : la première étape consiste à calculer les images h de zéro et h de six, puis à expliquer que ces résultats correspondent au point de départ et au point de chute du jet d'eau.
• Recherche d'extremum : il est demandé de prouver que la hauteur maximale est atteinte pour une distance x égale à trois, et de calculer cette hauteur. Cela revient à déterminer les coordonnées du sommet de la parabole.
• Tableau de variations : l'élève doit dresser le tableau de variations complet de la fonction h sur l'intervalle de zéro à six, synthétisant la phase de montée puis de descente de l'eau.
• Résolution d'inéquation : pour clore cet exercice, il faut déterminer pour quelles distances horizontales le jet d'eau dépasse une hauteur de quatre mètres. Cette résolution s'effectue en étudiant le signe de l'expression h de x moins quatre, facilitée par l'indication que cette différence équivaut à moins zéro virgule cinq facteur de x moins deux facteur de x moins quatre.

Le troisième et dernier exercice, noté sur huit points, élargit les horizons en testant la compréhension des polynômes de degré trois et des notions de base sur les équations. Il est scindé en deux parties distinctes :

• Partie A : elle propose l'étude d'une fonction g définie par le polynôme de degré trois g de x égale zéro virgule cinq x au cube moins x au carré moins deux virgule cinq x plus trois. L'élève est guidé pour vérifier que certains nombres sont des racines, utiliser ces informations pour établir la forme factorisée g de x égale zéro virgule cinq facteur de x plus deux facteur de x moins un facteur de x moins trois, construire un tableau de signes à partir de ce produit de trois facteurs affines, et enfin résoudre l'inéquation g de x strictement inférieur à zéro.
• Partie B : elle prend la forme d'un vrai ou faux où trois affirmations doivent être minutieusement justifiées. La première évalue la connaissance des racines en interrogeant sur le nombre de solutions de l'équation x au carré égale neuf. La deuxième est un problème géométrique sur le volume d'un cube, nécessitant de calculer ou de vérifier une racine cubique. Enfin, la troisième affirmation porte sur les racines et la forme factorisée d'un polynôme du second degré simple, p de x égale trois x au carré moins douze.

En conclusion, s'entraîner sérieusement sur l'ensemble de ces exercices corrigés constitue une préparation optimale pour tout élève. Ce sujet aborde de manière exhaustive toutes les compétences fondamentales : la manipulation algébrique experte entre les différentes formes, l'analyse approfondie incluant l'étude du signe et des variations, ainsi que l'application de ces concepts à des situations concrètes. Pour tirer le meilleur profit de ce PDF d'entraînement, nous vous conseillons de réaliser ce contrôle en conditions réelles, en vous accordant une heure pleine, sans regarder la correction détaillée dans un premier temps. Une fois le temps écoulé, utilisez la correction pour identifier vos erreurs et comprendre les raisonnements attendus. Ce travail assidu vous permettra d'aborder votre prochain devoir surveillé avec une solide confiance en vos capacités.