8. Tableau de variation d'un quotient

Introduction

Allez les amis, c'est parti pour une version légèrement plus compliquée du tableau de variation quand on a des fonctions de type quotient. Quand vous avez un quotient polynôme, la technique reste fondamentalement la même, c'est-à-dire je dérive, je fais un tableau de signes de la dérivée et j'en déduis le tableau de variation. Vous allez voir que les problèmes vont arriver sur le tableau de signes de la dérivée.

Dérivation de la fonction

Prenons cette fonction. Une erreur serait de dire que pour calculer la dérivée, on va dériver le numérateur et le diviser par la dérivée du dénominateur. Non, vous êtes dans une forme \(u/v\) et pour dériver \(u/v\), on utilise la formule \(u'v - uv' / v^2\). Donc, on n'a plus qu'à dériver \(u\) et \(v\), qui sont respectivement \(3x\) et \(x-1\). Donc \(u'\) est la dérivée de \(3x\) qui est \(3\), et \(v'\) est la dérivée de \(x-1\) qui est \(1\). En utilisant la formule, on obtient \(f'(x) = 3(x-1) - 3x / (x-1)^2\). On peut simplifier tout ça pour obtenir \(f'(x) = -1 / (x-1)^2\).

Tableau de signes de la dérivée

Maintenant, pour faire le tableau de signes d'une fonction, il y a vraiment que deux situations où c'est possible : quand j'ai un produit de fonctions, ou quand j'ai un quotient de fonctions. Par exemple, si vous étudiez le signe de \(1/x + 3x^2\), vous n'avez aucun moyen d'étudier le signe de cette fonction. Le seul moyen de faire c'est de mettre soit sous forme de produit, soit sous forme de quotient. En l'occurrence ici, il faudrait que je mette tout au même dénominateur et que je dise que ça fait \(1 + 3x^2 / x\). Ensuite, je fais une ligne avec \(x\), une avec \(x-1\), et une avec \(f'(x)\) qui vaut \(-1 / (x-1)^2\).

Conclusion

Comprenez bien que quand vous faites le tableau de signes d'une fonction, c'est quelque chose que vous connaissez. Quand le numérateur est nul, je tire un trait. Quand le dénominateur est nul, je tire une double barre. Pourquoi ? Parce que je n'ai pas le droit de diviser par zéro. Allez, on vous en a mis un ou deux qui sont un peu piquants en dessous. C'est vraiment quelque chose sur lequel vous risquez de vous planter, donc entraînez-vous. Prenez le temps de faire ces exercices, parce que c'est vraiment un investissement qui vous sera bénéfique.