Bibliothèque de contrôles

Bienvenue sur cette page consacrée à l'un des chapitres les plus importants du programme de mathématiques en classe de Terminale STI2D : les nombres complexes, et plus particulièrement leur forme exponentielle. Cette notion est absolument fondamentale car elle permet de simplifier considérablement les calculs trigonométriques et de modéliser des phénomènes physiques ou technologiques de manière très élégante, notamment en électricité et en mécanique. Pour bien maîtriser ce chapitre, il est indispensable de savoir passer avec fluidité de la forme algébrique à la forme exponentielle, de bien connaître son cercle trigonométrique, et de comprendre l'interprétation géométrique des opérations sur les complexes. Afin de vous accompagner dans vos révisions et de vous préparer au mieux pour le jour de l'évaluation, nous vous proposons sur cette page un total de 3 contrôles corrigés. Ces devoirs surveillés, accompagnés de leur correction détaillée, constituent un entraînement de choix pour consolider vos acquis et acquérir les bons réflexes.

Contrôle Nombres complexes - sujet 1

Ce premier devoir surveillé d'une heure balaie les compétences essentielles du chapitre à travers quatre exercices très variés. Le premier exercice prend la forme d'un vrai ou faux où il faut justifier rigoureusement quatre affirmations. Vous devrez par exemple prouver que le module de l'exponentielle de i thêta est toujours égal à un, ou encore déterminer si trois fois l'exponentielle de i pi est un nombre réel. Ce sera aussi l'occasion de déjouer un piège classique confondant l'addition et la multiplication des formes exponentielles. Le deuxième exercice se concentre sur la gymnastique calculatoire : vous devrez écrire des nombres complexes sous forme exponentielle, comme moins un plus i racine de trois, puis faire le chemin inverse vers la forme algébrique. Il faudra également calculer le produit et le quotient de deux nombres complexes en exploitant la puissance de la notation exponentielle, et enfin résoudre des équations, dont une équation du second degré du type z au carré égal moins seize.

La suite de ce contrôle corrigé propose une très belle application à la trigonométrie. Dans le troisième exercice, aucune indication n'est donnée : vous devrez faire preuve d'initiative pour déterminer la valeur exacte du cosinus de l'angle pi sur douze. La méthode attendue consiste à décomposer cet angle comme la différence entre pi sur trois et pi sur quatre, puis à utiliser un quotient de nombres complexes pour identifier la partie réelle. Enfin, le quatrième exercice fait le pont avec l'algorithmique en vous demandant d'analyser un script en langage Python. Ce programme a pour but de calculer la forme exponentielle d'un nombre complexe. Vous devrez comprendre le rôle d'une condition spécifique qui vérifie si la partie imaginaire est négative afin d'ajuster l'angle renvoyé par la fonction arc cosinus, et expliquer pourquoi le script ne peut pas fonctionner pour le nombre complexe nul à cause d'une erreur de division par zéro.

Contrôle Nombres complexes - sujet 2

Ce deuxième sujet de mathématiques, prévu pour une durée d'une heure et trente minutes, propose une approche très complète mêlant géométrie et physique. Le premier exercice évalue votre capacité à manipuler les différentes écritures. Vous commencerez par convertir le nombre complexe deux racine de trois moins deux i sous sa forme exponentielle. Ensuite, vous aborderez l'interprétation géométrique en identifiant la transformation, comme une rotation ou une homothétie, qui permet de passer d'un point A à un point B à l'aide d'un quotient complexe. Vous devrez aussi résoudre une équation pour trouver les racines carrées de moins vingt-cinq, et démontrer la formule de duplication du cosinus de deux thêta en utilisant les propriétés de l'exponentielle complexe, via la formule d'Euler ou de Moivre.

Le deuxième exercice de ce DS est une application concrète en électrocinétique, un domaine très important en filière STI2D. Vous étudierez la superposition de deux courants alternatifs. L'objectif est de transformer la somme d'un cosinus et d'un sinus en une seule expression de la forme d'une amplitude multipliée par le cosinus de cent pi t plus un déphasage. Pour y parvenir, vous devrez utiliser le module et l'argument du nombre complexe trois moins quatre i. Enfin, le dernier exercice est un passionnant travail d'analyse d'erreur. Vous serez confronté au calcul d'un élève qui s'est trompé en cherchant l'argument du nombre moins deux plus deux i. Il faudra prouver que son résultat est faux en repassant à la forme algébrique, identifier précisément son erreur de raisonnement liée à l'utilisation de la tangente sans vérifier les signes, et proposer la correction détaillée avec le bon angle, qui est de trois pi sur quatre.

Contrôle Nombres complexes et intégrales - sujet 3

Ce troisième devoir surveillé de deux heures propose d'évaluer vos connaissances sur les nombres complexes, mais aussi sur le calcul d'intégrales. Le premier exercice vous plonge dans une situation concrète d'ingénierie : le mouvement d'un bras robotisé. Vous devrez jouer les enquêteurs pour comprendre pourquoi les mesures relevées dans un atelier ne correspondent pas à la note théorique du service des méthodes. Cela passera par la conversion de l'affixe du point de départ, quatre exponentielle de i pi sur trois, en forme algébrique, puis par le calcul de la position d'arrivée après une rotation d'angle deux pi sur trois. En calculant le quotient des affixes réelles et théoriques, vous pourrez déterminer l'erreur exacte de paramétrage de la machine.

Les deux exercices suivants lient intimement les nombres complexes, la trigonométrie et les intégrales. Dans le deuxième exercice, vous étudierez la puissance d'un radiateur alimenté en courant alternatif. La première étape consistera à démontrer la formule de linéarisation du cosinus au carré grâce aux formules d'Euler. Cette étape est cruciale pour simplifier l'expression de la puissance, étudier ses variations, trouver sa période et déterminer la valeur moyenne qui correspond à la puissance efficace. Le troisième exercice reprend cette même logique pour le calcul d'une aire. Après avoir linéarisé la fonction sinus au carré de pi t, vous devrez trouver une primitive pour calculer la valeur exacte de l'intégrale entre zéro et un. Une question vous demandera ensuite d'interpréter ce résultat graphiquement en le comparant à l'aire d'un rectangle, ce qui donne un sens visuel très concret à la notion de valeur moyenne d'une fonction.

En travaillant sérieusement sur ces trois devoirs surveillés et en étudiant chaque correction détaillée avec attention, vous allez considérablement renforcer votre maîtrise du programme de mathématiques de Terminale STI2D. Ces exercices corrigés constituent un entraînement idéal pour apprendre à rédiger vos démonstrations, à vérifier la cohérence de vos résultats et à ne plus tomber dans les pièges classiques des calculs d'arguments. Avant votre prochain contrôle, nous vous conseillons de refaire ces sujets au format PDF en conditions réelles, sans regarder le corrigé dans un premier temps. Assurez-vous de bien connaître les valeurs remarquables de votre cercle trigonométrique et de maîtriser les formules d'Euler, qui sont la clé de nombreuses simplifications. Bonnes révisions et excellente préparation pour le baccalauréat !