Statistiques
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Généralités
Activités
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Statistiques en seconde : cours et exercices corrigés
Ce chapitre de statistiques de seconde porte sur les indicateurs d'une série de données : médiane, quartiles et écart interquartile, moyenne, variance et écart type, puis le diagramme en boîte qui résume une série. Chaque compétence a sa vidéo de cours et ses exercices corrigés en ligne, avec une correction pas à pas. La fiche résumée de statistiques de seconde regroupe les définitions et les formules du chapitre.
Comment calculer une médiane
La médiane partage une série rangée dans l'ordre croissant en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. Pour calculer la médiane d'une série de données, on range les valeurs, puis on distingue deux cas selon l'effectif N.
- Si N est impair, la médiane est la valeur de rang (N + 1) / 2. Pour 3 ; 5 ; 7 ; 8 ; 12, N = 5 et la médiane est la 3e valeur : 7.
- Si N est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rangs N / 2 et N / 2 + 1. Pour 2 ; 4 ; 6 ; 9 ; 10 ; 13, N = 6 et la médiane vaut (6 + 9) / 2 = 7,5.
Pour calculer la médiane dans un tableau d'effectifs, on ajoute une ligne des effectifs cumulés croissants pour repérer la valeur qui occupe le rang cherché. Exemple : notes 8, 10, 12 et 15 avec les effectifs 3, 5, 4 et 2. L'effectif total est N = 14, la médiane est la moyenne des 7e et 8e valeurs. Les effectifs cumulés valent 3, 8, 12, 14 : les 7e et 8e valeurs sont toutes deux égales à 10, donc la médiane vaut 10.
Premier quartile, troisième quartile et écart interquartile
Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales ; le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur telle qu'au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. Pour calculer et interpréter le premier et le troisième quartile et l'écart interquartile, on calcule N / 4 et 3N / 4, puis on arrondit à l'entier supérieur pour obtenir le rang. Pour la série 2 ; 4 ; 6 ; 9 ; 10 ; 13, on a 6 / 4 = 1,5, donc Q1 est la 2e valeur, 4 ; et 18 / 4 = 4,5, donc Q3 est la 5e valeur, 10. L'écart interquartile Q3 − Q1 = 6 mesure la dispersion de la moitié centrale des données.
Moyenne d'une série et moyenne de aX + b
La moyenne d'une série est la somme des valeurs divisée par l'effectif total ; avec un tableau d'effectifs, on fait la somme des produits valeur × effectif, divisée par N. Les exercices pour calculer et interpréter la moyenne d'une série insistent sur sa sensibilité aux valeurs extrêmes, contrairement à la médiane. Pour 3 ; 5 ; 7 ; 8 ; 12, la moyenne vaut 35 / 5 = 7.
Quand on transforme toutes les valeurs par une même formule, la moyenne de aX + b se calcule directement : elle vaut a × x̄ + b, où x̄ est la moyenne de la série de départ. Si une série a pour moyenne 7 et que l'on double chaque valeur avant d'ajouter 3, la nouvelle moyenne vaut 2 × 7 + 3 = 17.
Variance et écart type
La variance V est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, et l'écart type est σ = √V. Pour calculer la variance et l'écart type à la main, on dresse un tableau des écarts. Pour 3 ; 5 ; 7 ; 8 ; 12, de moyenne 7, les écarts sont −4, −2, 0, 1 et 5, leurs carrés 16, 4, 0, 1 et 25. La variance vaut 46 / 5 = 9,2 et l'écart type √9,2 ≈ 3,03. Plus l'écart type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
Sur une série plus longue, on utilise le mode statistiques de la machine : la vidéo pour calculer moyenne, variance et écart type à la calculatrice montre où saisir les valeurs et les effectifs, et comment lire x̄ et σ dans les résultats.
Diagramme en boîte
Le diagramme en boîte, aussi appelé boîte à moustaches, se construit avec cinq valeurs : le minimum, Q1, la médiane, Q3 et le maximum. La boîte va de Q1 à Q3 et contient environ la moitié des valeurs, les moustaches vont jusqu'aux valeurs extrêmes. Il permet de comparer rapidement deux séries : position de la médiane, longueur de la boîte (l'écart interquartile) et étendue.
Questions fréquentes sur les statistiques
Comment calculer une médiane ?
On range les valeurs dans l'ordre croissant. Si l'effectif N est impair, la médiane est la valeur de rang (N + 1) / 2 ; s'il est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales, de rangs N / 2 et N / 2 + 1. Pour 4 ; 7 ; 9 ; 15, la médiane vaut (7 + 9) / 2 = 8.
Comment calculer une médiane dans un tableau d'effectifs ?
On calcule l'effectif total N, puis les effectifs cumulés croissants. On repère ensuite la ou les valeurs qui occupent le rang central : la première valeur dont l'effectif cumulé atteint ce rang est celle que l'on cherche. Si N est pair, on fait la moyenne des valeurs de rangs N / 2 et N / 2 + 1.
Comment calculer le premier quartile ?
On range les valeurs dans l'ordre croissant et on calcule N / 4. Si le résultat n'est pas entier, on l'arrondit à l'entier supérieur : Q1 est la valeur de ce rang. Pour une série de 10 valeurs, 10 / 4 = 2,5, donc Q1 est la 3e valeur.
Quelle est la différence entre la moyenne et la médiane ?
La moyenne tient compte de toutes les valeurs, elle est donc influencée par les valeurs extrêmes. La médiane ne dépend que du rang des valeurs : elle partage la série en deux moitiés et reste stable si une valeur extrême change. Pour 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 100, la médiane vaut 3 alors que la moyenne vaut 22.
Comment construire un diagramme en boîte ?
On calcule le minimum, le premier quartile, la médiane, le troisième quartile et le maximum. Sur un axe gradué, on trace un rectangle de Q1 à Q3, un trait vertical à la médiane, puis deux segments qui relient la boîte au minimum et au maximum.