Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale (spécialité) est un excellent outil de révision pour le baccalauréat. Il couvre plusieurs chapitres clés du programme : les suites numériques (raisonnement par récurrence, limites), l'étude de fonctions (dérivation, exponentielle, tangentes), les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Ce corrigé détaillé vous aidera à vous préparer efficacement aux épreuves.

Exercice 1 : Étude d'une suite arithmético-géométrique

Cet exercice se concentre sur l'étude d'une suite \((u_n)\) définie par la relation de récurrence \(u_{n+1} = 2u_n - n + 3\) et son premier terme \(u_0 = 1\).

• Question 1 : Il est demandé de démontrer par récurrence une inégalité. Il faut prouver que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n \geq 2^n + n\). Cette question teste la maîtrise du raisonnement par récurrence, de l'initialisation à l'hérédité, dans le cas d'une inégalité.
• Question 2 : La deuxième question porte sur le calcul de la limite de la suite \((u_n)\). En s'appuyant sur l'inégalité démontrée précédemment, l'élève doit utiliser le théorème de comparaison pour conclure sur le comportement de la suite à l'infini.

Exercice 2 : Suite récurrente et étude de fonction

Cet exercice explore les liens profonds entre l'étude d'une fonction et le comportement d'une suite récurrente de la forme \(u_{n+1} = f(u_n)\), avec ici \(f(x) = \frac{e^x}{x+2}\).

• Partie 1 : L'étude commence par l'analyse de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0; 1]\). Il faut calculer sa dérivée, étudier son signe pour démontrer que \(f\) est strictement croissante, puis en déduire son tableau de variations. Ensuite, un raisonnement par récurrence permet de prouver que la suite est croissante et bornée (\(0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1\)). Finalement, l'application du théorème de la convergence monotone est nécessaire pour justifier que la suite \((u_n)\) converge.
• Partie 2 : Une nouvelle suite \((v_n)\) est introduite. Le but est de calculer sa limite en utilisant une majoration (\(v_{n+1} \leq \frac{e}{n+2}\)) et le théorème des gendarmes.

Exercice 3 : QCM - Limites, dérivation et tangentes

Ce questionnaire à choix multiples évalue rapidement des compétences variées et fondamentales du programme de Terminale.

• Question 1 : Calcul de la limite de la suite rationnelle \(u_n = \frac{3n^2 - 5}{2n^2 + 1}\). La méthode consiste à factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
• Question 2 : Détermination de la limite d'une suite encadrée, \( \frac{3}{e^n} \leq v_n \leq 2e^{-n}\), par application directe du théorème des gendarmes.
• Question 3 : Recherche de l'équation de la tangente à la courbe de \(f(x) = 2 - \frac{3}{\sqrt{x}}\) au point d'abscisse 1. Cela requiert le calcul de la dérivée et l'utilisation de la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
• Question 4 : Calcul de la dérivée de la fonction \(h(x) = e^{5x+7}(2x^2 + 4x + 6)\), ce qui met en jeu la maîtrise de la dérivation d'un produit et d'une fonction composée avec l'exponentielle.

Exercice 4 : Problème de modélisation avec une fonction exponentielle

Cet exercice est un problème concret de modélisation de la concentration d'un médicament dans le sang, représentée par une fonction de la forme \(f(x) = (x + a)e^{bx}\). L'analyse graphique est au cœur de la résolution.

• Partie A : La première partie consiste à déterminer les paramètres \(a\) et \(b\) à partir d'informations graphiques. La valeur de \(f(0)\) est lue sur le graphique, et la valeur de \(f'(0)\) est déduite de la pente de la tangente horizontale au point d'abscisse 0.
• Partie B : Une fois l'expression complète de la fonction \(f(x) = (x+2)e^{-0.5x}\) obtenue, il faut vérifier par le calcul l'expression de sa dérivée \(f'(x)\), puis étudier son signe pour en déduire le sens de variation de la fonction \(f\), et enfin vérifier la cohérence avec la courbe fournie.

Exercice 5 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale

Ce dernier exercice, très complet, aborde le thème des probabilités à travers une enquête sur la pratique des langues étrangères.

• Partie A : Cette partie est dédiée aux probabilités conditionnelles. Il s'agit de traduire les données de l'énoncé en complétant un arbre pondéré, puis de l'utiliser pour calculer une probabilité d'intersection et enfin une probabilité totale via la formule des probabilités totales.
• Partie B : La seconde partie se focalise sur la loi binomiale. Il faut d'abord justifier que la situation correspond à un schéma de Bernoulli, et donc que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. Les questions suivantes portent sur le calcul d'une probabilité \(P(X=k)\), l'utilisation de l'événement contraire pour calculer \(P(Y \geq 1)\), et la résolution d'une inéquation avec logarithmes pour déterminer le nombre minimal d'essais nécessaire pour que cette probabilité dépasse un certain seuil.