Introduction
Allez les amis, on est parti pour comprendre en 5 minutes qu'est-ce que c'est qu'une variable aléatoire, comment donner les valeurs qu'elle peut prendre et comment donner sa loi de probabilité. On s'y met tout de suite.
Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?
Une variable aléatoire, qu'est-ce que c'est ? C'est une variable qui peut changer de valeur de manière aléatoire. Je vous donne un exemple : votre âge, c'est une variable. Une année, vous avez 15 ans, l'autre année, vous avez 16 ans, l'année suivante, vous avez 17 ans. Sauf que votre âge, c'est une variable qui n'est pas aléatoire. A priori, l'âge que vous aurez l'année prochaine, vous le savez de manière définitive, c'est l'âge que vous avez cette année auquel vous rajoutez 1. Par contre, si on vous dit "on lance un dé", si je lance un dé et que j'estime que le résultat est une variable, cette variable, le résultat du dé, est aléatoire. C'est-à-dire que quand je vais jeter le dé, j'ai aucune idée, a priori, s'il est bien équilibré, c'est-à-dire s'il n'est pas pipé, du résultat que va prendre cette variable aléatoire. On peut citer d'autres variables aléatoires, par exemple le nombre de fois où vous allez au McDo dans la semaine, ou combien d'euros vous allez gagner à l'Euro Millions, et ainsi de suite. Tout ça, ce sont des variables aléatoires, c'est-à-dire des variables qui peuvent prendre une certaine ou une autre valeur de manière imprévisible, de manière aléatoire.
Exemple d'une variable aléatoire
On lance un dé bien équilibré, donc ça veut dire qu'il n'est pas pipé, c'est-à-dire qu'aucun côté n'est plus lourd et du coup tous les résultats ont la même chance de tomber. Pour chaque point obtenu, on gagne 3 euros. Autrement dit, si vous faites 3, vous gagnez \(3 \times 3 = 9\) euros, si vous faites 6, vous gagnez \(3 \times 6 = 18\) euros, et ainsi de suite. On note \(X\) la variable aléatoire égale aux gains. Vous êtes d'accord avec moi que quand vous allez jeter votre dé, vous allez gagner du cash et que la variable qui représente ce cash que vous allez gagner, a priori, vous n'êtes pas capable de déterminer sa valeur à l'issue de l'expérience. Pourquoi ? Parce qu'elle est aléatoire. Donc on est bien face à une variable aléatoire.
La première question est : quelles sont les valeurs prises par \(X\) ? Autrement dit, donner l'univers \(\Omega\), c'est-à-dire l'ensemble des valeurs que peut prendre une variable. Vous lancez votre dé, combien pouvez-vous gagner ? Si vous faites un, vous gagnez 3 euros, si vous faites deux, vous gagnez 6 euros, et ainsi de suite. Donc on note que \(X\), notre variable aléatoire, appartient à l'ensemble \(\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}\). J'ai bien donné l'ensemble des valeurs que peut prendre \(X\), ça, c'est noté l'univers.
Loi de probabilité d'une variable aléatoire
En deuxième partie, quand on vous demande la loi de probabilité, il faut que vous sachiez qu'en première, quand on va vous demander la loi de probabilité d'un événement, vous donnerez toujours le résultat sous forme d'un tableau. Sur la première ligne, vous allez mettre les valeurs que peut prendre cette variable, autrement dit son univers. Donc moi, mon \(X\) comme valeur, il a \(3, 6, 9, 12, 15, 18\). Et sur la ligne du dessous, vous allez mettre la probabilité associée à chacune des valeurs. Autrement dit, quelle est la probabilité que je fasse trois, que je fasse six, et ainsi de suite. Si on note \(P(X = x_i)\) la probabilité de \(X = x_i\), c'est-à-dire le même événement, le premier c'est 3, le deuxième c'est 6, le quatrième c'est 9, et ainsi de suite. Mon dé est bien équilibré, quelle est la probabilité que je gagne 3 euros, c'est-à-dire quelle est la probabilité que je fasse le chiffre 1 ? Il y a 6 faces possibles et on n'a qu'une seule qui contient le résultat un, donc mon résultat c'est \(1/6\). Pour 3, c'est pareil, peu importe, c'est pareil, la probabilité de faire deux, c'est \(1/6\), \(1/6\), \(1/6\), \(1/6\), et \(1/6\). Donc là, je vous ai pris un cas où les événements sont équiprobables, c'est-à-dire qu'ils ont tous la même probabilité, mais on pourrait imaginer des cas plus compliqués avec des événements qui n'ont pas exactement la même probabilité.
En parlant de cas un peu plus compliqué, ça tombe bien parce que juste en dessous, on vous a mis des exercices avec des lois de probabilité à trouver, des exercices interactifs. Vous remplissez le tableau, faites-les, franchement, ça vous travaillera le cerveau, c'est parfait. À vous de jouer.