Bibliothèque de contrôles

Le chapitre des équations différentielles occupe une place centrale dans le programme de mathématiques de la classe de Terminale Spécialité. Il constitue un pont fondamental entre l'analyse mathématique pure et la modélisation de phénomènes physiques ou biologiques concrets. Pour exceller dans ce domaine, les élèves doivent impérativement maîtriser la résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre, qu'elles soient de la forme y prime égale a y ou y prime égale a y plus b. Il est également crucial de savoir déterminer une solution particulière à partir d'une condition initiale donnée et d'étudier des fonctions faisant intervenir la fonction exponentielle. Afin de vous accompagner dans vos révisions et de vous préparer de manière optimale pour vos prochains devoirs surveillés, cette page regroupe 2 contrôles corrigés complets. Ces sujets, conçus pour un entraînement en conditions réelles, vous permettent de tester vos connaissances, de repérer vos difficultés et de consolider vos acquis grâce à une correction détaillée. En travaillant sur ces exercices corrigés, vous aborderez toutes les typologies de questions classiques que l'on retrouve régulièrement dans un DS de mathématiques au lycée.

Contrôle équations différentielles avec problème

Ce premier devoir surveillé, prévu pour une durée d'une heure, propose une évaluation complète et variée à travers trois exercices distincts. Le premier exercice prend la forme d'un questionnaire à choix multiples idéal pour vérifier rapidement l'assimilation des bases du cours. Les élèves sont amenés à identifier la solution d'une équation différentielle en reconnaissant une primitive usuelle, par exemple pour l'équation y prime égale trois x au carré moins un sur x au carré, dont la solution implique la fonction x au cube plus un sur x. Le questionnaire teste également la capacité à donner la solution générale d'une équation homogène telle que quatre y prime moins y égale zéro, ainsi que d'une équation avec un second membre constant du type y prime égale trois y moins un, en appliquant directement les formules du cours pour trouver la constante et l'exponentielle associées.

Le deuxième exercice est un problème d'application très concret basé sur la loi de refroidissement de Newton, modélisant l'évolution de la température d'un café au fil du temps. Les élèves doivent traiter différentes situations :

• Dans un premier temps, ils étudient un modèle simplifié où la température ambiante est de zéro degré, ce qui conduit à résoudre une équation du type y prime égale a y avec une condition initiale fixée à quatre-vingts degrés.
• Ensuite, le modèle se complexifie pour intégrer une température ambiante de dix degrés, transformant l'équation en y prime égale a y plus b. Il faut alors déterminer la solution générale puis la solution particulière.
• L'exercice se termine par la résolution d'une équation utilisant la fonction exponentielle et le logarithme népérien pour calculer le temps exact nécessaire pour que le café atteigne quarante degrés.

Enfin, le troisième exercice est une étude de fonction classique portant sur le produit d'un trinôme du second degré et d'une fonction exponentielle. Les élèves doivent calculer la dérivée en utilisant la formule de dérivation d'un produit, déterminer les racines du polynôme résultant pour étudier le signe de la dérivée, et enfin dresser le tableau de variations complet de la fonction.

Contrôle Equations Différentielles - sujet 2

Ce second sujet de contrôle, également conçu pour une durée d'une heure, se divise en deux grands exercices qui balayent de manière exhaustive les compétences exigibles sur ce chapitre. Le premier exercice mêle habilement l'étude d'une fonction et la modélisation à l'aide d'une équation différentielle. La première partie demande de réaliser l'étude complète de la fonction définie par zéro virgule cinq t multiplié par l'exponentielle de moins zéro virgule cinq t. Cela implique de déterminer la limite en plus l'infini en levant une indétermination grâce aux théorèmes de croissances comparées, puis de calculer la dérivée avec la règle du produit pour en déduire les variations et le maximum de la fonction étudiée.

La deuxième partie de cet exercice applique ces résultats à un problème de pharmacocinétique, modélisant la quantité d'un principe actif dans le sang d'un animal. Ce problème mobilise plusieurs compétences clés :

• Les élèves doivent d'abord vérifier qu'une fonction de la forme a t multiplié par l'exponentielle de moins zéro virgule cinq t est une solution particulière de l'équation différentielle posée.
• Ils résolvent ensuite l'équation homogène associée, de la forme y prime plus zéro virgule cinq y égale zéro, avant de regrouper les deux résultats pour obtenir la solution générale.
• L'utilisation d'une condition initiale, stipulant que la quantité de médicament est nulle à l'instant initial, permet de retrouver la fonction étudiée dans la première partie.
• Une question d'algorithmique vient clôturer ce problème : il s'agit d'analyser un script en langage Python utilisant une boucle conditionnelle pour déterminer au bout de combien d'heures la quantité de principe actif passe sous le seuil de zéro virgule un milligramme.

Le second exercice de ce DS évalue plus directement la maîtrise technique des formules de résolution, sous forme de réponses à compléter. Il aborde d'abord une équation du type y prime plus deux y égale moins huit, demandant de trouver l'ensemble des solutions, la solution unique respectant une condition initiale précise, et de tracer l'allure de la courbe avec son asymptote horizontale. Enfin, l'exercice se penche sur une équation différentielle avec un second membre trigonométrique comportant des cosinus et des sinus, nécessitant de chercher une solution particulière de même forme par identification des coefficients avant de conclure sur la solution générale.

En vous engageant dans la résolution de ces deux sujets d'entraînement, vous allez considérablement renforcer votre maîtrise des mathématiques. Ces exercices corrigés couvrent l'intégralité des attentes du programme, allant des calculs techniques purs aux problèmes de modélisation complexes. Pour une révision efficace avant votre prochain contrôle, nous vous conseillons de chercher chaque exercice en temps limité, sans consulter vos notes, puis de confronter vos résultats à la correction détaillée au format PDF. Prêtez une attention toute particulière aux erreurs de calcul lors de la dérivation des fonctions composées avec des exponentielles et assurez-vous de bien rédiger les étapes de détermination des constantes à l'aide des conditions initiales. Ce travail rigoureux sur des devoirs surveillés authentiques est la clé pour aborder votre évaluation avec confiance et sérénité.