Fonction exponentielle
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Fonction exponentielle en première : cours et exercices corrigés
Ce chapitre de première spécialité présente la fonction exponentielle et ses propriétés, puis les savoir-faire demandés en contrôle : simplifier une expression, résoudre une équation ou une inéquation, étudier un signe, calculer une dérivée, dresser un tableau de variation et trouver l'équation d'une tangente. Chaque compétence a sa vidéo de cours et ses exercices corrigés, à faire en ligne avec une correction détaillée. La fiche résumée sur la fonction exponentielle reprend toutes les règles sur une page.
La fonction exponentielle, notée exp, est l'unique fonction dérivable sur ℝ égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0. On note exp(x) = eˣ, avec e = exp(1) ≈ 2,718 (l'exponentielle de 1). Une propriété sert dans presque tous les exercices : eˣ > 0 pour tout réel x.
Simplifier une expression avec exponentielle
Les règles de calcul ressemblent à celles des puissances : eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ, eᵃ/eᵇ = eᵃ⁻ᵇ, e⁻ᵃ = 1/eᵃ et (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ. Pour simplifier une expression avec exponentielle, on regroupe tout en une seule exponentielle en additionnant ou en soustrayant les exposants. Exemple : e³ × e⁻⁵/e⁻¹ = e³⁻⁵⁺¹ = e⁻¹. De même, (eˣ)² × e⁻ˣ = e²ˣ⁻ˣ = eˣ.
Équations et inéquations avec exponentielle
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ, ce qui donne deux équivalences fondamentales : eᵃ = eᵇ si et seulement si a = b, et eᵃ < eᵇ si et seulement si a < b. Pour la résolution d'une équation avec exponentielle, on écrit chaque membre sous la forme d'une seule exponentielle, puis on égale les exposants : exp(2x − 1) = exp(x + 3) donne 2x − 1 = x + 3, donc x = 4. On utilise aussi 1 = e⁰ : eˣ = 1 équivaut à x = 0.
Certaines équations demandent un changement de variable. Pour e²ˣ + eˣ − 2 = 0, on pose X = eˣ, avec X > 0 : l'équation devient X² + X − 2 = 0, de solutions X = 1 et X = −2. La solution négative est rejetée car une exponentielle est toujours positive ; il reste eˣ = 1, soit x = 0.
La résolution d'une inéquation avec exponentielle suit la même méthode, en conservant le sens de l'inégalité grâce à la croissance de la fonction : exp(3x) > exp(x + 4) équivaut à 3x > x + 4, soit x > 2.
Tableau de signe avec exponentielle
Comme eˣ est toujours strictement positif, il ne change jamais le signe d'un produit. Pour une étude de signe avec exponentielle, on étudie donc seulement les autres facteurs. Exemple : (2x − 4)eˣ est du signe de 2x − 4, négatif pour x < 2, nul en 2 et positif pour x > 2. Le tableau de signe ne comporte qu'une ligne utile, celle de 2x − 4, la ligne de eˣ ne contenant que des signes +.
Dérivée de la fonction exponentielle et tableau de variation
La formule de base est (eˣ)' = eˣ ; pour une exponentielle composée, (exp(ax + b))' = a × exp(ax + b), par exemple la dérivée de e⁻²ˣ est −2e⁻²ˣ. Les exercices sur la dérivée de la fonction exponentielle combinent ces formules avec celles du produit et du quotient : pour f(x) = x eˣ, f'(x) = 1 × eˣ + x × eˣ = (x + 1)eˣ.
Pour l'étude des variations avec exponentielle, on étudie le signe de la dérivée en profitant de eˣ > 0. Avec f(x) = x eˣ, f'(x) a le signe de x + 1 : f est décroissante sur ]−∞ ; −1] et croissante sur [−1 ; +∞[, avec un minimum f(−1) = −e⁻¹ = −1/e. La fonction exponentielle elle-même est strictement croissante sur ℝ, et x ↦ e⁻ᵏˣ est décroissante quand k > 0.
Équation de la tangente avec exponentielle
On applique la formule habituelle y = f'(a)(x − a) + f(a). Pour l'équation de la tangente avec exponentielle à la courbe de exp au point d'abscisse 0 : exp(0) = 1 et exp'(0) = 1, donc la tangente a pour équation y = x + 1. Pour f(x) = x eˣ en a = 0 : f(0) = 0 et f'(0) = 1, d'où la tangente y = x.
Questions fréquentes sur la fonction exponentielle
Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle ?
La fonction exponentielle est sa propre dérivée : (eˣ)' = eˣ. Pour une fonction de la forme exp(ax + b), la dérivée est a × exp(ax + b). Par exemple, la dérivée de e³ˣ⁺¹ est 3e³ˣ⁺¹.
Comment résoudre une équation avec exponentielle ?
On écrit chaque membre sous la forme d'une seule exponentielle, puis on utilise l'équivalence eᵃ = eᵇ si et seulement si a = b. On résout ensuite l'équation obtenue sur les exposants. Si l'équation contient e²ˣ et eˣ, on pose X = eˣ, on résout une équation du second degré et l'on ne garde que les solutions positives.
Comment résoudre une inéquation avec exponentielle ?
Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, eᵃ < eᵇ équivaut à a < b : on compare les exposants sans changer le sens de l'inégalité. Par exemple, exp(3x) > exp(x + 4) équivaut à 3x > x + 4, soit x > 2.
Comment faire le tableau de signe d'une fonction avec exponentielle ?
On utilise le fait qu'une exponentielle est toujours strictement positive. Dans un produit comme (2x − 4)eˣ, seul le facteur 2x − 4 décide du signe. On étudie donc ce facteur seul, et l'on peut ajouter une ligne pour eˣ qui ne contient que des signes +.
Comment simplifier une expression avec exponentielle ?
On applique les règles eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ, eᵃ/eᵇ = eᵃ⁻ᵇ et (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ pour regrouper l'expression en une seule exponentielle. Par exemple, e³ × e⁻⁵/e⁻¹ = e⁻¹, soit 1/e.