Bibliothèque de contrôles

Le programme de mathématiques de la classe de Première STI2D accorde une place centrale à l'étude de l'aléatoire, et plus particulièrement au chapitre des probabilités conditionnelles. Cette notion est absolument fondamentale car elle permet de modéliser des situations concrètes issues du monde de l'industrie, du développement durable ou des sciences de l'ingénieur, où la réalisation d'un événement dépend d'une information préalable. Pour maîtriser ce chapitre, les élèves doivent être capables de manipuler avec aisance les tableaux croisés d'effectifs, de construire et d'exploiter des arbres pondérés, et de comprendre la notion d'indépendance entre deux événements. Il est également crucial de savoir traduire un énoncé textuel en langage mathématique et d'interpréter les résultats obtenus dans le contexte de l'exercice. Afin de vous accompagner de manière optimale dans vos révisions et de vous préparer aux évaluations, cette page vous propose un total de 1 contrôle corrigé, spécifiquement conçu pour le niveau Première STI2D. Ce devoir surveillé constitue un excellent support d'entraînement. En travaillant sérieusement sur ce sujet et en consultant sa correction détaillée au format PDF, vous pourrez identifier vos points forts et cibler les notions qui nécessitent encore un peu de pratique.

Contrôle Probabilités conditionnelles - sujet 1

Ce devoir surveillé, prévu pour une durée d'une heure avec l'utilisation de la calculatrice autorisée, se décompose en trois exercices progressifs qui balaient l'intégralité des compétences attendues sur ce chapitre. Le premier exercice vous plonge directement dans une application concrète liée au secteur industriel : le contrôle qualité de pièces manufacturées à l'aide d'un capteur optique. L'étude porte sur un lot de deux mille pièces. Vous travaillerez avec deux événements principaux, à savoir le fait que la pièce soit défectueuse et le fait qu'elle soit signalée par le capteur. La première étape de cet exercice d'entraînement consiste à organiser les données fournies, notamment des pourcentages et des nombres bruts, pour compléter un tableau croisé d'effectifs. Par exemple, vous devrez calculer que cinq pour cent de deux mille pièces représentent cent pièces défectueuses au total.

Une fois ce tableau rempli, vous serez amené à déterminer des probabilités fondamentales, comme la probabilité que la pièce soit défectueuse, la probabilité qu'elle soit signalée, ainsi que la probabilité de l'intersection de ces deux événements. L'exercice se corse ensuite avec le calcul de probabilités conditionnelles. Vous devrez notamment évaluer la probabilité qu'une pièce soit signalée sachant qu'elle est défectueuse, ce qui correspond à la sensibilité du capteur, ou encore la probabilité qu'une pièce non signalée soit conforme, ce qui définit sa spécificité. Enfin, les dernières questions vous demanderont d'inverser la condition pour calculer, par exemple, la probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant qu'elle a été signalée. Ce type de raisonnement est extrêmement fréquent dans les exercices corrigés de niveau Première STI2D car il permet d'évaluer la pertinence réelle du système de détection. Voici les principales compétences travaillées dans ce premier problème :

• Compléter un tableau croisé d'effectifs à partir de pourcentages et de valeurs brutes.
• Calculer des probabilités simples et des probabilités d'intersection.
• Évaluer la sensibilité et la spécificité d'un capteur via des probabilités conditionnelles.
• Inverser la condition pour juger de la pertinence globale du test de contrôle.

Le deuxième exercice de ce contrôle corrigé aborde un thème très actuel : la pratique du télétravail. L'énoncé s'appuie sur une enquête réalisée auprès de quatre cents salariés, en croisant le fait d'habiter en ville et le fait de télétravailler. Contrairement au premier exercice, les données de départ ne sont pas des effectifs mais directement des probabilités : la probabilité d'habiter en ville est de zéro virgule six, celle de télétravailler est de zéro virgule trente-cinq, et la probabilité de l'intersection de ces deux événements est de zéro virgule vingt-cinq. Votre mission sera de convertir ces probabilités en effectifs pour dresser un nouveau tableau croisé. Il vous faudra par exemple déduire que le nombre de citadins s'élève à deux cent quarante personnes. Vous appliquerez ensuite les formules du cours pour calculer différentes probabilités conditionnelles. Une compétence essentielle évaluée ici est la traduction d'une phrase du langage courant en notation probabiliste. Ainsi, l'affirmation indiquant que parmi les télétravailleurs, environ soixante et onze pour cent habitent en ville devra être traduite par la probabilité d'habiter en ville sachant que l'on télétravaille. La conclusion de l'exercice porte sur la notion d'indépendance : en comparant la probabilité de télétravailler sachant que l'on habite en ville avec la probabilité globale de télétravailler, vous devrez déduire si le lieu de résidence influence ou non le recours au télétravail.

Le troisième et dernier exercice de ce DS sert d'introduction au schéma de Bernoulli et à la loi binomiale, des concepts que vous approfondirez par la suite. Il modélise des prélèvements successifs et indépendants de pièces sur une chaîne de production, avec une probabilité de défaut fixée à zéro virgule zéro cinq. Tout l'exercice repose sur la construction et l'exploitation d'arbres de probabilités. Vous commencerez par modéliser deux prélèvements successifs pour calculer la probabilité d'obtenir deux pièces défectueuses, puis la probabilité d'en obtenir exactement une seule en additionnant les résultats des branches correspondantes. L'arbre sera ensuite étendu à trois prélèvements successifs, avec plusieurs calculs stratégiques à la clé :

• Déterminer la probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse à l'issue des tirages.
• Calculer la probabilité qu'au moins une pièce présente un défaut, en utilisant judicieusement l'événement contraire.
• Évaluer la probabilité d'obtenir exactement une pièce défectueuse sur l'ensemble des trois prélèvements.

Une ultime question vient enrichir le problème en introduisant une seconde chaîne de production dont la probabilité de défaut est de zéro virgule un. En prélevant une pièce sur chaque chaîne, vous devrez évaluer la probabilité d'obtenir exactement une pièce défectueuse au total, ce qui constitue une excellente application du calcul sur la combinaison d'événements indépendants mais non identiquement distribués.

S'entraîner de manière régulière sur ce type de devoir surveillé est la clé de la réussite en mathématiques. En réalisant l'ensemble des exercices proposés sur cette page, vous allez consolider votre maîtrise des outils fondamentaux tels que les tableaux à double entrée et les arbres pondérés. Ces compétences sont des prérequis indispensables, non seulement pour réussir votre année de Première STI2D, mais également pour aborder sereinement le programme de Terminale. Avant de vous lancer dans votre prochain contrôle, nous vous conseillons de relire attentivement votre cours, de mémoriser les formules de probabilités conditionnelles et d'indépendance, puis de refaire ces exercices corrigés en conditions réelles, sans regarder la correction détaillée au format PDF dans un premier temps. La confrontation directe avec la difficulté est le meilleur moyen de progresser et d'arriver confiant le jour de l'évaluation.