Bibliothèque de contrôles

Le chapitre sur la continuité et l'étude de fonctions est un pilier fondamental du programme de mathématiques en Terminale Spécialité. Sa maîtrise est absolument indispensable pour réussir l'épreuve du baccalauréat et pour envisager sereinement des études supérieures en sciences. Il exige une compréhension profonde des limites, de la dérivation, du théorème des valeurs intermédiaires et de la convexité. Pour vous accompagner dans vos révisions, cette page regroupe exactement 6 contrôles corrigés, abordant l'ensemble des notions clés du chapitre à travers des problèmes variés et exigeants. Chaque devoir surveillé est une occasion unique de s'entraîner en profondeur.

Contrôle logarithme népérien difficile

Le premier sujet propose un entraînement intensif sur la fonction logarithme népérien croisée avec l'étude de fonctions. L'exercice un évalue la dérivation de fonctions composées impliquant des logarithmes, des exponentielles et des puissances. L'exercice deux se concentre sur les équations et inéquations, demandant de résoudre des polynômes du second degré, des équations logarithmiques avec une gestion rigoureuse de l'ensemble de définition, et des inéquations exponentielles. L'exercice trois teste le calcul de limites avec les théorèmes de croissance comparée en zéro et en plus l'infini, ainsi que la reconnaissance de la définition du nombre dérivé.

Enfin, le dernier problème propose une étude de fonction complète en deux parties. Les élèves doivent d'abord analyser une fonction auxiliaire du troisième degré comportant un logarithme pour en déduire le signe de la dérivée de la fonction principale. La seconde partie exige d'appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur une autre fonction, de prouver l'existence d'une asymptote oblique d'équation y égale x, et d'étudier la position relative de la courbe par rapport à cette asymptote.

Contrôle Continuité des Fonctions 1

Ce deuxième devoir surveillé aborde en profondeur la continuité et la dérivabilité. Le premier exercice confronte les élèves à une fonction définie par morceaux. Il s'agit de vérifier le raccordement des courbes en un point précis en calculant les limites à gauche et à droite, puis d'étudier la dérivabilité via les limites des taux d'accroissement à gauche et à droite. Le deuxième exercice est une étude classique et très complète d'une fonction rationnelle, s'appuyant sur l'analyse préalable d'une fonction auxiliaire polynomiale du troisième degré. Les élèves doivent déterminer les variations, utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence d'une racine unique, et étudier la position relative par rapport à une droite affine.

La fonction principale nécessite de trouver le domaine de définition, les limites, les asymptotes, et de calculer l'équation de la tangente à l'origine, tout en simplifiant l'image de la racine trouvée précédemment. Le troisième exercice est une application fine du théorème des valeurs intermédiaires sur un polynôme de degré trois pour dénombrer exactement trois solutions à une équation, encadrer l'une d'elles par balayage à la calculatrice, et en déduire le signe de la fonction.

Contrôle Etudes de Fonctions Convexité et Continuité 2

Ce troisième contrôle propose une évaluation exhaustive de deux heures sur la continuité, l'étude de fonctions et la convexité. L'exercice un est un grand problème sur une fonction exponentielle, structuré autour d'une fonction auxiliaire. Les compétences évaluées incluent le calcul de limites avec croissance comparée en moins l'infini, l'utilisation du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, et l'étude complète des variations. La fonction principale demande de prouver l'existence d'une asymptote oblique d'équation y égale moins deux x et d'analyser la convexité en calculant la dérivée seconde pour trouver d'éventuels points d'inflexion.

L'exercice deux se présente sous la forme d'un questionnaire à choix multiples ciblant spécifiquement la dérivation seconde. Il faut identifier les intervalles de concavité et de convexité, et interpréter graphiquement la position de la courbe par rapport à ses tangentes. L'exercice trois propose l'étude d'une fonction rationnelle avec des valeurs interdites, nécessitant la recherche d'asymptotes verticales et obliques. Enfin, le quatrième exercice teste directement la définition de la continuité en un point sur des fonctions définies par morceaux, en comparant les limites à gauche et à droite, notamment avec une fonction impliquant la valeur absolue.

Contrôle Etudes de Fonctions Exponentielles 1

Ce quatrième sujet est une évaluation d'une heure focalisée sur les fonctions exponentielles, mêlées aux suites numériques. Le premier exercice valide les techniques de calcul de base avec la dérivation d'une fonction composée à une puissance négative, et la levée d'indéterminations pour des limites en plus l'infini. Les élèves doivent mobiliser les croissances comparées, le théorème de composition des limites pour un exposant rationnel, et le théorème des gendarmes pour encadrer une fonction trigonométrique. L'exercice deux relie l'étude d'une fonction exponentielle à celle d'une suite définie par récurrence.

Après avoir dressé le tableau de variations de la fonction, il est demandé de démontrer par récurrence que la suite est décroissante et minorée, puis d'utiliser le théorème de la convergence monotone pour déterminer sa limite en résolvant l'équation de point fixe. L'exercice trois est un problème classique en deux parties. Une fonction auxiliaire permet d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et de déterminer un signe. Ces résultats guident l'étude de la fonction principale, qui se termine par la mise en évidence d'une asymptote oblique d'équation y égale x et l'analyse de sa position relative par rapport à la courbe.

Contrôle Etudes Suites, Fonctions, Dénombrement, Position Relative Espace

Ce cinquième devoir surveillé est particulièrement riche et transversal. L'exercice un démarre par une démonstration par récurrence pour trouver l'expression explicite d'une suite, suivie de l'étude du sens de variation d'une suite impliquant des coefficients binomiaux, et se termine par l'encadrement d'une fonction rationnelle comportant un sinus. L'exercice deux aborde une suite arithmético-géométrique à l'aide d'une suite auxiliaire pour en déduire sa forme explicite et sa limite. Il intègre également la complétion d'un algorithme en langage Python utilisant une boucle conditionnelle pour déterminer un seuil, ainsi que le calcul complexe de la limite d'une somme de termes divisée par le carré de l'entier.

L'exercice trois est consacré à une étude de fonction exponentielle, passant par une fonction auxiliaire pour déterminer les variations et les asymptotes horizontales de la fonction principale. Une question exigeante demande de discuter graphiquement du nombre de solutions d'une équation selon un paramètre réel. L'exercice quatre évalue le dénombrement à travers des tirages dans une urne, mobilisant les listes avec remise, les arrangements et les combinaisons pour calculer diverses probabilités. Enfin, l'exercice cinq traite de la géométrie dans l'espace, mêlant calcul vectoriel pur avec la relation de Chasles pour prouver une coplanarité, et géométrie analytique dans un repère orthonormé.

Contrôle Probabilités, Etudes de Fonctions et Suites, Géométrie dans l'Espace

Le sixième et dernier sujet de cette page brasse plusieurs grands thèmes du programme pour une préparation optimale. L'exercice un commence par des probabilités conditionnelles modélisées par un arbre pondéré, nécessitant la formule des probabilités totales. L'élève doit ensuite déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire et calculer son espérance mathématique, avant de justifier l'utilisation d'une loi binomiale pour calculer diverses probabilités et tester l'indépendance de deux événements. L'exercice deux revient sur l'étude de fonctions avec une structure en deux parties. L'analyse d'une fonction auxiliaire comportant une exponentielle permet d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour trouver une racine et en déduire un signe. Ce signe est ensuite indispensable pour étudier les variations de la fonction principale et déterminer l'équation de sa tangente.

L'exercice trois teste les connaissances en géométrie dans l'espace à l'aide de représentations paramétriques. Il faut vérifier la colinéarité de vecteurs directeurs pour prouver un parallélisme, résoudre un système d'équations pour trouver l'éventuelle intersection de deux droites sécantes, et utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité. Enfin, l'exercice quatre est une étude de suites numériques demandant de prouver la décroissance et la convergence avec le théorème de la limite monotone. Une démonstration par récurrence permet d'obtenir la forme explicite de la suite pour en calculer la limite, le tout complété par un algorithme en Python.

En réalisant l'ensemble de ces exercices corrigés, l'élève de Terminale Spécialité s'assure une préparation complète et rigoureuse pour ses devoirs surveillés et pour l'épreuve finale du baccalauréat. Ce recueil de contrôles corrigés balaye toutes les subtilités du chapitre sur la continuité et l'étude de fonctions, tout en intégrant des ponts vers d'autres notions cruciales comme les suites, les probabilités ou la géométrie. Pour une révision efficace, nous vous conseillons de télécharger chaque DS au format PDF, de chercher les exercices en temps limité et en conditions réelles, avant de consulter la correction détaillée pour identifier vos erreurs et consolider vos méthodes de résolution. Un entraînement régulier sur ces annales est la clé de la réussite !