Bibliothèque de contrôles

Le chapitre sur les statistiques à deux variables occupe une place incontournable dans le programme de mathématiques de la classe de Terminale STI2D. Ce thème essentiel permet aux élèves de faire le lien entre des données expérimentales et des modèles mathématiques concrets, une compétence fondamentale pour de futurs techniciens ou ingénieurs. Pour réussir dans ce domaine, il est indispensable de maîtriser plusieurs notions clés : la représentation graphique sous forme de nuage de points, le calcul des coordonnées du point moyen, ainsi que la détermination et l'utilisation d'une droite d'ajustement affine, notamment par la méthode des moindres carrés. L'analyse critique des résultats, comme la distinction entre interpolation et extrapolation, est également au cœur des attentes. Afin de vous accompagner de manière optimale dans vos révisions, cette page regroupe un total de 3 contrôles corrigés. Ces devoirs surveillés, accompagnés de leur correction détaillée au format PDF, constituent un entraînement de choix pour aborder sereinement n'importe quelle évaluation sur ce sujet.

Contrôle Statistiques à deux variables - sujet 1

Ce premier devoir surveillé est un sujet très complet d'une durée d'une heure, pour lequel l'utilisation de la calculatrice est autorisée. Il propose d'évaluer la compréhension des concepts fondamentaux de l'ajustement affine à travers trois exercices variés. Le premier exercice se présente sous la forme d'un questionnaire à choix multiples sur six points, pensé pour vérifier rapidement les connaissances théoriques essentielles. Chaque réponse nécessite une justification rigoureuse. Vous devrez notamment identifier la définition exacte du point moyen d'un nuage de points, dont les coordonnées correspondent aux moyennes arithmétiques des abscisses et des ordonnées. Une autre question aborde l'utilité principale d'une droite d'ajustement, qui sert avant tout à fournir un modèle mathématique pour estimer des valeurs non mesurées, que ce soit par interpolation ou par extrapolation. Enfin, une application directe demande de calculer une image à partir de l'équation de droite y égale 0,02 fois x pour la valeur x égale 350.

Le deuxième exercice, noté sur huit points, vous plonge dans une situation concrète issue de la physique : l'étude de l'allongement d'un ressort en fonction de la masse qui y est suspendue. La première étape consiste à construire le nuage de points en respectant une échelle précise sur les axes. Ensuite, il vous est demandé de calculer les coordonnées du point moyen, qui s'établissent à 300 grammes pour l'abscisse et 6 centimètres pour l'ordonnée, puis de réaliser un ajustement affine au jugé en traçant une droite qui passe par ce point central et équilibre les points extrêmes. L'exercice se poursuit en vérifiant si ce point moyen appartient bien au modèle mathématique y égale 0,02 fois x, avant de réaliser une estimation de l'allongement pour une masse de 350 grammes par une simple interpolation.

Le troisième et dernier exercice, sur six points, est un excellent entraînement à l'esprit critique. Il s'agit d'analyser la copie d'un élève qui a utilisé le modèle précédent pour calculer l'allongement correspondant à une masse de trois kilogrammes, soit trois mille grammes. Si le calcul arithmétique donnant soixante centimètres est correct, la valeur choisie se situe très loin de l'intervalle des mesures initiales. Il s'agit donc d'une extrapolation abusive. Vous devrez expliquer pourquoi ce résultat est physiquement irréaliste en invoquant la limite d'élasticité du ressort : au-delà d'une certaine masse, le modèle linéaire n'est tout simplement plus valable.

Contrôle Statistiques à deux variables - sujet 2

Ce deuxième contrôle corrigé aborde l'ajustement affine sous l'angle de la chimie, avec un premier exercice consacré à l'étude d'une droite d'étalonnage. Vous y étudierez la relation linéaire entre la concentration d'un colorant et son absorbance. L'exercice débute par le calcul incontournable des coordonnées du point moyen du nuage de points. Vous devrez ensuite utiliser les fonctionnalités de votre calculatrice pour déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine selon la célèbre méthode des moindres carrés. Le sujet propose ensuite un modèle simplifié, sous la forme d'une fonction linéaire où l'absorbance est égale à 0,084 fois la concentration. Vous serez amené à justifier physiquement pourquoi cette droite passe par l'origine : une absence de colorant implique logiquement une absorbance nulle. L'exercice se termine par le calcul d'un antécédent pour une absorbance donnée, afin de vérifier si la concentration trouvée respecte une norme de rejet fixée à cinq milligrammes par litre.

Le deuxième exercice met en scène une situation professionnelle concrète impliquant deux notes de service contradictoires. C'est un grand classique en classe de Terminale STI2D pour travailler l'analyse critique. Une mesure d'absorbance de 1,30 est relevée, ce qui donne une concentration d'environ 15,5 milligrammes par litre selon le modèle. Cependant, cette absorbance sort totalement du domaine de validité de l'étalonnage, compris entre 0,05 et 0,90. Vous devrez donc conclure que le modèle n'est plus applicable et proposer une solution pratique, comme la dilution de l'échantillon. Un raisonnement logique vous permettra tout de même d'affirmer que la norme est largement dépassée.

Enfin, le troisième exercice introduit l'algorithmique en s'appuyant sur un script en langage Python. L'objectif est de comprendre le principe de la méthode des moindres carrés, qui consiste à minimiser la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites. Après un calcul manuel de ces écarts pour bien assimiler la formule, vous devrez identifier la meilleure droite parmi quatre propositions. L'exercice culmine avec la rédaction d'une fonction Python capable de déterminer la droite minimisant cette somme parmi une liste donnée, tout en gardant à l'esprit que tester un nombre fini de droites ne remplace pas la résolution analytique absolue de la régression linéaire.

Contrôle Statistiques à deux variables et logarithme - sujet 3

Ce troisième sujet de mathématiques est un devoir surveillé de deux heures qui propose une excellente transversalité en mêlant les statistiques à deux variables et l'étude de la fonction logarithme. Le premier exercice est un Vrai ou Faux sur six points qui passe en revue des propriétés théoriques majeures. Vous devrez justifier, par un argument de cours ou un contre-exemple, des affirmations portant sur l'appartenance du point moyen à la droite des moindres carrés, sur la nature de l'ajustement affine, sur la perte de fiabilité liée à l'extrapolation, mais surtout sur l'intérêt du changement de variable pour linéariser une relation qui n'est pas affine au départ.

Le deuxième exercice, noté sur quatorze points, illustre parfaitement cette dernière notion à travers l'étude du vieillissement d'une diode électroluminescente. L'objectif est de modéliser la baisse du flux lumineux en fonction de sa durée de fonctionnement. Dans la première partie, vous démontrerez qu'un ajustement affine classique est inadapté, car les écarts successifs entre les valeurs ne sont pas constants. En revanche, les quotients successifs le sont presque, ce qui oriente vers un modèle exponentiel.

La deuxième partie est le cœur du problème : la mise en œuvre du changement de variable. En posant une nouvelle variable z égale au logarithme décimal du flux lumineux, le nuage de points devient modélisable par une droite. Vous réaliserez une régression linéaire sur ces nouvelles données avec la calculatrice pour obtenir une équation de la forme z égale 2 moins 0,0122 fois t. Toute la difficulté et l'intérêt de la question résident dans le retour au modèle initial : en utilisant la réciproque du logarithme décimal, c'est-à-dire les puissances de dix, vous démontrerez que le flux lumineux est égal à 100 multiplié par 10 à la puissance moins 0,0122 fois t.

La dernière partie exploite ce nouveau modèle exponentiel pour résoudre des inéquations et des équations concrètes. Vous devrez notamment déterminer la durée de vie garantie de la diode, c'est-à-dire le moment où le flux passe sous la barre des 70 pour cent de sa valeur initiale, et calculer sa demi-vie, le temps nécessaire pour que l'intensité lumineuse soit divisée par deux.

En travaillant sérieusement sur cet ensemble d'exercices corrigés, chaque élève de Terminale STI2D pourra consolider ses acquis et gagner en assurance. Ces sujets balaient la totalité des compétences exigibles, de la simple lecture graphique à la modélisation complexe par changement de variable, en passant par l'analyse critique des résultats et la programmation en Python. Pour une révision efficace avant un DS, nous vous conseillons de chercher chaque exercice en conditions réelles, sans regarder l'aide, puis de comparer minutieusement votre démarche avec la correction détaillée fournie. Cette méthode d'entraînement actif est la clé pour repérer vos erreurs, perfectionner votre rédaction mathématique et maîtriser pleinement les statistiques à deux variables.