Bibliothèque de contrôles

Le chapitre sur les matrices occupe une place centrale et passionnante dans le programme de l'option Mathématiques Expertes en classe de Terminale. Il permet de découvrir une toute nouvelle branche de l'algèbre, indispensable pour les études supérieures scientifiques. Pour réussir dans ce domaine, il est crucial de maîtriser parfaitement les opérations de base, telles que l'addition, la multiplication par un réel et le produit matriciel, mais aussi des concepts plus avancés comme le calcul de la matrice inverse, la résolution de systèmes linéaires, l'étude des suites de matrices et les applications géométriques. Afin de vous accompagner dans votre préparation et vous assurer une progression solide, cette page regroupe un total de 2 contrôles corrigés. Ces devoirs surveillés, accompagnés de leur correction détaillée au format PDF, constituent un entraînement incontournable. Ils vous permettront de vérifier vos acquis, de cibler vos points faibles et d'aborder vos futures évaluations avec confiance.

Contrôle Matrices - sujet 1

Ce premier devoir surveillé, prévu pour une durée d'une heure et quinze minutes sans calculatrice, est un sujet de contrôle complet spécifiquement dédié au chapitre des matrices. Il se décompose en trois exercices riches et variés. Le premier exercice, noté sur neuf points, évalue vos capacités de calcul et votre connaissance des propriétés fondamentales à travers plusieurs tâches :

• La construction d'une matrice carrée de taille quatre en suivant des conditions précises sur ses indices, pour tester votre compréhension des notations.
• Le calcul des premières puissances d'une matrice de taille deux, la preuve de son inversibilité par la recherche d'un polynôme annulateur sans utiliser le déterminant, puis le calcul de sa matrice inverse.
• L'étude de l'inversibilité d'une matrice dépendant d'un paramètre réel en fonction des valeurs qui annulent son déterminant.
• La recherche d'une formule explicite pour la puissance n-ième d'une matrice remplie de deux.
• La résolution matricielle d'un système classique de deux équations à deux inconnues en utilisant la matrice inverse calculée précédemment.

Le deuxième exercice de ce sujet s'intéresse aux suites de matrices, un prolongement direct du programme sur les suites numériques. Il s'agit d'étudier une suite arithmético-géométrique matricielle. Vous serez amené à démontrer par récurrence une formule explicite pour la puissance n-ième de la matrice de transition, puis à déterminer la matrice colonne représentant l'état stable du système. L'exercice se poursuit avec l'introduction d'une suite matricielle auxiliaire dont il faudra démontrer la nature géométrique. À partir de là, vous devrez déduire l'expression explicite de la suite initiale et conclure sur son comportement asymptotique en étudiant la limite de son terme général lorsque n tend vers l'infini.

Enfin, le troisième et dernier exercice propose une application géométrique passionnante. Il fait le lien entre les matrices et la trigonométrie en étudiant des rotations planes centrées à l'origine. Vous écrirez les matrices associées à des rotations d'angles pi sur trois et moins pi sur quatre, calculerez les coordonnées de l'image d'un point, et étudierez la composition de ces deux transformations par le produit matriciel. Une astuce finale vous permettra même de déduire les valeurs exactes du cosinus et du sinus de l'angle pi sur douze.

Contrôle Nombres complexes et Matrices - sujet 1

Ce second sujet, conçu pour durer une heure et trente minutes, propose de croiser deux chapitres majeurs de la spécialité Mathématiques Expertes : les nombres complexes sous leur forme algébrique et les matrices. Le premier exercice, sur dix points, est un tour d'horizon complet sur les nombres complexes. Il débute par des calculs de base pour déterminer la forme algébrique d'une somme, d'un produit, d'une combinaison linéaire et d'un carré à partir de deux nombres complexes donnés, mobilisant la règle selon laquelle le carré du nombre imaginaire i vaut moins un. Ensuite, l'exercice aborde la résolution de deux équations du second degré à coefficients complexes ou dépendant d'un paramètre réel, nécessitant le calcul du discriminant. Vous devrez également déterminer les conditions sur la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre pour qu'une expression donnée soit un nombre réel, en annulant sa partie imaginaire. Une question plus théorique vous demandera enfin de prouver qu'une expression complexe est réelle en montrant qu'elle est égale à son propre conjugué.

Le deuxième exercice de ce DS se concentre sur les opérations et les propriétés des matrices. À travers quatre matrices nommées A, B, M et N, vous devrez justifier la faisabilité d'un produit matriciel en vérifiant la compatibilité des dimensions avant de le calculer. Une soustraction de matrices vous sera également demandée. La question de synthèse exigera de justifier une égalité matricielle sans refaire de longs calculs, en exploitant astucieusement la distributivité du produit matriciel sur l'addition.

Le dernier exercice associe habilement les puissances de matrices au raisonnement par récurrence. En étudiant une matrice carrée spécifique, vous calculerez d'abord des carrés de matrices avant d'exprimer la matrice initiale en fonction de la matrice identité et d'une autre matrice simple. Cette décomposition sera la clé de voûte pour démontrer par récurrence la formule explicite de sa puissance k-ième. Cette démonstration exige une rédaction rigoureuse, passant par l'initialisation, l'hypothèse de récurrence et l'hérédité.

En vous entraînant assidûment sur ces exercices corrigés, vous développerez non seulement vos compétences calculatoires, mais aussi la rigueur de votre raisonnement mathématique, indispensable pour réussir en Terminale. Ce travail sur des devoirs surveillés réels est la meilleure stratégie de révision possible. Avant de vous lancer dans un contrôle corrigé, nous vous conseillons de bien revoir les définitions de votre cours, de mémoriser les conditions d'inversibilité d'une matrice et de maîtriser la structure type d'une démonstration par récurrence. N'hésitez pas à refaire ces sujets en temps limité pour simuler un vrai DS, puis à comparer minutieusement vos réponses avec la correction détaillée pour comprendre vos erreurs et ne plus les reproduire le jour de votre évaluation. Bon entraînement !