Bibliothèque de contrôles

Le chapitre sur l'arithmétique occupe une place centrale et prestigieuse dans le programme de la spécialité Mathématiques Expertes en classe de Terminale. Ce domaine fascinant des mathématiques requiert une grande rigueur logique, un esprit d'analyse affûté et une maîtrise parfaite des démonstrations. Pour réussir dans cette matière, les élèves doivent impérativement s'approprier des concepts fondamentaux tels que la divisibilité dans l'ensemble des entiers relatifs, le calcul et les propriétés du plus grand commun diviseur, l'utilisation des congruences pour simplifier des problèmes complexes, ainsi que la résolution des fameuses équations diophantiennes à l'aide des théorèmes de Bézout et de Gauss. Afin de vous accompagner de manière optimale dans vos révisions et votre préparation au baccalauréat, cette page met à votre disposition un total de 1 contrôle corrigé, spécifiquement conçu pour évaluer l'ensemble de ces compétences. S'entraîner sur un véritable devoir surveillé est la méthode la plus efficace pour cibler ses lacunes, comprendre les attentes des correcteurs et gagner en rapidité. La correction détaillée qui accompagne ce sujet vous permettra de vérifier chaque étape de vos raisonnements et de consolider vos acquis avant le jour de l'évaluation.

Contrôle Arithmétique - sujet 1

Ce premier sujet de DS, prévu pour une durée d'une heure et trente minutes, constitue un entraînement extrêmement complet et représentatif des exigences de la classe de Terminale Expert. Il se compose de cinq exercices variés qui balayent l'intégralité des notions du chapitre d'arithmétique :

• Exercice 1 : Noté sur trois points, il propose une excellente entrée en matière en se focalisant sur les propriétés du plus grand commun diviseur et sur la divisibilité. Les élèves doivent étudier deux entiers définis en fonction d'un entier naturel n, à savoir a qui vaut deux n plus un, et b qui vaut n plus trois. Il faut d'abord démontrer que le plus grand commun diviseur de ces deux nombres est obligatoirement un diviseur de cinq, en s'appuyant astucieusement sur les propriétés de l'algorithme d'Euclide. La seconde question exige de déterminer la valeur exacte de ce plus grand commun diviseur selon les valeurs de n, en utilisant les congruences modulo cinq pour prouver qu'il vaut cinq si n est congru à deux modulo cinq, et un dans les autres cas.
• Exercice 2 : Également sur trois points, cet exercice plonge les élèves au cœur de l'arithmétique modulaire en étudiant les congruences et la résolution d'équations dans l'anneau des entiers modulo douze. Il faut d'abord démontrer que le nombre cinq est inversible modulo douze en invoquant le théorème de Bachet-Bézout. Ensuite, il s'agit de résoudre une équation de congruence où cinq x est congru à quatre modulo douze. En trouvant l'inverse de cinq, qui s'avère être cinq lui-même, l'élève peut isoler l'inconnue et aboutir à la solution x congru à huit modulo douze.
• Exercice 3 : C'est le cœur de ce devoir surveillé. Noté sur neuf points, il s'agit d'un problème approfondi sur les équations diophantiennes linéaires. L'objectif principal est de résoudre l'équation où vingt-trois x plus dix-neuf y est égal à mille. Les élèves sont guidés pas à pas : résoudre une équation auxiliaire égale à un en appliquant l'algorithme d'Euclide pour illustrer l'identité de Bézout, trouver une solution particulière pour l'équation initiale en multipliant par mille, puis mobiliser le théorème de Gauss pour déterminer l'ensemble complet des solutions entières. Enfin, une mise en application concrète vient clore cet exercice : un problème de modélisation impliquant des hauteurs de piles de pièces de monnaie d'un euro et de dix centimes, aboutissant à un système d'inéquations pour trouver les valeurs entières et positives adéquates.
• Exercice 4 : Noté sur cinq points, il propose un croisement très intéressant entre l'étude des suites numériques et l'arithmétique. À partir d'une suite arithmético-géométrique, il est demandé de démontrer que deux termes consécutifs sont toujours premiers entre eux. Les élèves doivent ensuite introduire une suite géométrique auxiliaire pour exprimer le terme général de la suite initiale. La dernière question est un beau défi arithmétique : calculer le plus grand commun diviseur entre quatre à la puissance n plus un moins un, et quatre à la puissance n moins un. En utilisant les congruences modulo trois, on démontre que ce résultat est toujours égal à trois.
• Exercice 5 : Il clôture ce contrôle sur deux points avec un problème de synthèse court mais exigeant, centré sur une application directe de l'identité de Bézout. En imaginant des transactions réalisées uniquement avec des jetons de sept et de onze euros, l'élève doit déterminer si n'importe quel montant entier est réalisable. La justification repose sur le fait que sept et onze sont des nombres premiers entre eux, garantissant que toute équation diophantienne associée possédera des solutions entières.

S'investir pleinement dans la résolution de ce devoir surveillé et de ses exercices corrigés est la garantie d'une révision réussie. En travaillant sur ce contrôle corrigé, l'élève de Terminale Expert apprend à structurer ses démonstrations, à choisir le bon théorème au bon moment et à rédiger avec la rigueur attendue au baccalauréat. L'arithmétique ne pardonne pas l'à-peu-près : chaque étape doit être justifiée avec précision. Nous vous conseillons vivement de télécharger ce sujet au format PDF, de vous installer dans les conditions réelles d'un DS, c'est-à-dire en temps limité, puis de confronter votre travail à notre correction détaillée. Cette démarche active d'entraînement est le meilleur moyen d'assimiler durablement les mécanismes de l'algorithme d'Euclide, du théorème de Gauss ou des congruences, et d'aborder sereinement vos futures évaluations.