Bibliothèque de contrôles

Le chapitre sur la dérivation locale et globale constitue un pilier incontournable du programme de mathématiques en classe de Première STI2D. C'est à ce stade de l'année que les élèves découvrent des outils d'analyse fondamentaux qui leur serviront non seulement jusqu'au baccalauréat, mais également dans leurs études supérieures, particulièrement dans les filières technologiques et scientifiques. Maîtriser ce chapitre implique de comprendre en profondeur le concept de nombre dérivé, de savoir lire graphiquement des informations sur les tangentes, et d'être capable de calculer avec fluidité des fonctions dérivées pour étudier les variations d'une fonction. Ce devoir surveillé est l'occasion parfaite pour faire le point sur vos acquis. Pour vous accompagner dans votre entraînement et optimiser vos révisions, cette page vous propose au total 1 contrôle corrigé, accompagné de sa correction détaillée au format PDF. L'objectif est de vous fournir un support de révision robuste pour aborder sereinement votre prochain DS sur ce thème.

Contrôle Dérivation - sujet 1

Ce premier sujet, d'une durée d'une heure et demie avec calculatrice autorisée, propose une évaluation complète des compétences attendues. Le premier exercice est consacré à la lecture graphique, une compétence essentielle pour bien visualiser les concepts. Les élèves doivent analyser la courbe représentative d'une fonction f et deux de ses tangentes. Il est d'abord demandé de lire les images des nombres zéro et un, ce qui donne respectivement quatre et deux. Ensuite, l'élève doit déterminer graphiquement des nombres dérivés, qui correspondent aux coefficients directeurs des tangentes. En utilisant un point donné, on calcule que la dérivée en zéro vaut moins trois, tandis que la dérivée en un est nulle car la tangente est horizontale. L'exercice se poursuit avec la détermination de l'équation réduite de la première tangente, pour aboutir à l'expression y égale moins trois x plus quatre, et se termine par le calcul du taux de variation de la fonction entre les abscisses zéro et deux, qui vaut un. Le deuxième exercice est un test direct et rigoureux sur les calculs de fonctions dérivées. Les élèves doivent dériver quatre fonctions distinctes : un polynôme du second degré dont la dérivée est huit x moins cinq, deux polynômes du troisième degré nécessitant de dériver terme à terme, et une fonction sous la forme d'un produit de deux fonctions affines. Il faut alors appliquer la formule de dérivation d'un produit pour obtenir le résultat final qui est quatre x plus cinq. La seconde partie demande de déterminer l'équation de la tangente à la première courbe au point d'abscisse un, ce qui aboutit à la droite d'équation y égale trois x moins trois.

Le troisième exercice plonge les élèves au cœur d'un problème d'optimisation concret : la recherche de la boîte de plus grand volume. À partir d'une plaque carrée de trente centimètres de côté, on découpe un carré de côté x à chaque coin. La modélisation permet d'exprimer le volume en fonction de x, obtenant une fonction polynomiale du troisième degré : quatre x au cube, moins cent vingt x au carré, plus neuf cents x. Pour trouver le volume maximal, il est indispensable de calculer la fonction dérivée, de la factoriser sous la forme douze fois x moins cinq fois x moins quinze, puis d'étudier son signe sur l'intervalle allant de zéro à quinze. Le tableau de variation montre que la fonction atteint un maximum pour x égal à cinq, correspondant à un volume de deux mille centimètres cubes. Une question fait ensuite appel au théorème des valeurs intermédiaires pour justifier qu'il est possible de concevoir une boîte d'un volume de mille cinq cents centimètres cubes. Enfin, le quatrième exercice se présente sous la forme d'un questionnaire vrai ou faux. La première affirmation, vraie, rappelle que si le nombre dérivé est nul, la tangente est horizontale. La deuxième est fausse et permet de rappeler que la dérivée de x au cube est trois x au carré. La dernière affirmation, vraie, demande d'étudier le sens de variation d'une fonction définie par x au cube plus x. Sa dérivée étant trois x au carré plus un, elle est strictement positive sur l'ensemble des nombres réels, prouvant que la fonction est strictement croissante.

En travaillant sérieusement sur ces exercices corrigés et en consultant attentivement la correction détaillée, l'élève de Première STI2D s'assure de consolider ses acquis sur l'ensemble du chapitre. Ce type d'entraînement régulier est la clé de la réussite en mathématiques. Il permet non seulement de gagner en rapidité sur les calculs, mais aussi d'affiner son esprit critique face à des problèmes d'optimisation. Avant de vous lancer dans votre prochain contrôle corrigé, nous vous conseillons de refaire ce devoir sans regarder les solutions dans un premier temps. Prenez le soin de bien rédiger vos justifications, notamment lors de l'étude du signe d'une dérivée. N'hésitez pas à télécharger ce sujet au format PDF pour vous mettre dans les conditions réelles d'un examen. Une bonne révision passe par la pratique, et ce support est conçu précisément pour vous accompagner vers l'excellence.