Introduction
Allez les amis, on est parti pour calculer et interpréter l'espérance d'une variable aléatoire. On s'y met tous. L'espérance d'une variable aléatoire, c'est ce que vous pouvez espérer avoir en moyenne comme résultat.
Je m'explique : quand vous lancez un dé, chaque fois que vous allez lancer le dé, le résultat va être différent. Sauf que, si vous vous amusiez à noter vos résultats et que vous faisiez la moyenne de ces résultats, en moyenne, à peu près combien est-ce qu'on s'attend à voir ? La réponse, vous l'avez intuitivement. L'espérance d'un lancer de dé est environ 3. On s'attend à avoir à peu près 3 parce qu'on va faire pas mal de résultats au milieu, des résultats en haut, des résultats en bas, et avec la moyenne de tout ça, ça va nous donner trois. Là, le concept d'espérance, vous l'avez en tête de manière assez intuitive. Maintenant, on va voir comment faire pour le calculer dans le cas d'une variable aléatoire.
Calcul de l'espérance
La première étape, c'est toujours, toujours, toujours de donner la loi. Vous ne pouvez pas calculer l'espérance si vous n'avez pas la loi de probabilité. Donc, on va prendre cette expérience : on lance un dé bien équilibré, on gagne le montant inscrit sur le dé et on appelle \(X\) la variable aléatoire associée aux gains. On va faire sa loi de probabilité.
Je vous rappelle que pour faire la loi de probabilité, vous devez d'abord noter l'ensemble des valeurs que peut prendre votre variable aléatoire. Donc, le gain associé à l'expérience. Vu que je gagne 1 euro pour chaque face du dé, je peux gagner soit 1 euro, soit 2, 3, 4, 5 ou 6. Vu que c'est un dé bien équilibré, la probabilité de chacun de ces résultats c'est toujours un sixième.
Maintenant, pour calculer la valeur de l'espérance, la formule est la suivante :
\[
E(X) = \sum x_i p_i
\]
où \(x_i\) est la valeur de la variable aléatoire et \(p_i\) est la probabilité associée à cette valeur.
Exemple de calcul
Dans notre cas, cela donne :
\[
E(X) = \frac{1}{6} \times 1 + \frac{1}{6} \times 2 + \frac{1}{6} \times 3 + \frac{1}{6} \times 4 + \frac{1}{6} \times 5 + \frac{1}{6} \times 6
\]
On peut factoriser par \(\frac{1}{6}\) :
\[
E(X) = \frac{1}{6} \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
\]
Ce qui donne :
\[
E(X) = \frac{1}{6} \times 21 = \frac{7}{2} = 3.5
\]
Donc, en moyenne, quand vous allez jouer à ce jeu, si vous jouez un grand nombre de fois, vous pouvez espérer gagner 3.5 euros. C'est ça l'interprétation de l'espérance. Dans votre phrase qui interprète l'espérance, il doit y avoir deux choses : "grand nombre de fois" et "moyenne". En répétant cette expérience un grand nombre de fois, on obtiendra en moyenne 3.5 euros.
Maintenant, à vous de jouer ! On vous a mis des exercices en dessous. Vous allez voir que cet exercice, on va en faire plus tard une version plus compliquée, qui est celle que vous aurez en dernier point du contrôle.