Contrôle Corrigé de Mathématiques Terminale Spécialité : Probabilités et Suites

Ce sujet de contrôle pour le niveau Terminale spécialité mathématiques est une évaluation complète portant sur plusieurs chapitres clés du programme : les probabilités conditionnelles, l'étude de suites numériques (notamment arithmético-géométriques et récurrentes), le raisonnement par récurrence, et la loi binomiale. D'une durée de 2 heures, ce sujet est composé de trois exercices balayant un large spectre de compétences techniques et de raisonnement.

Exercice 1 : Probabilités conditionnelles et étude d'une suite (7 points)

Cet exercice met en scène un problème classique de probabilités dynamiques, où l'issue d'une épreuve dépend de l'issue de la précédente. Il s'articule autour d'un jeu vidéo et de la probabilité de gagner une partie.

• Question 1 : Il est demandé de calculer la probabilité de gagner la deuxième partie, \(p_2\). Cette question est une application directe de la formule des probabilités totales, qui nécessite la construction préalable d'un arbre pondéré pour modéliser la situation sur les deux premières parties. On calcule \(P(G_2) = P(G_1 \cap G_2) + P(\overline{G_1} \cap G_2)\).
• Question 2 : Cette question aborde les probabilités conditionnelles "inversées". Sachant que la deuxième partie est gagnée, on cherche la probabilité que la première ait été perdue. Il s'agit de calculer \(P_{G_2}(\overline{G_1})\), une application de la formule de Bayes ou une lecture attentive de l'arbre.
• Question 3 : On s'intéresse ici à la probabilité de gagner au moins une partie sur les trois premières. La méthode la plus efficace consiste à calculer la probabilité de l'événement contraire, c'est-à-dire "perdre les trois premières parties", puis à utiliser la formule \(P(A) = 1 - P(\overline{A})\).
• Question 4 : L'objectif est d'établir une relation de récurrence liant \(p_{n+1}\) à \(p_n\). En utilisant à nouveau la formule des probabilités totales à l'étape \(n\), on montre que la suite \((p_n)\) est une suite arithmético-géométrique définie par la relation \(p_{n+1} = \frac{1}{5}p_n + \frac{3}{5}\).
• Question 5 : Il s'agit d'une démonstration par raisonnement par récurrence. L'objectif est de prouver que la forme explicite de la suite est bien \(p_n = \frac{3}{4} - \frac{13}{4} (\frac{1}{5})^n\). La rédaction doit être rigoureuse : initialisation, hérédité (en partant de l'hypothèse au rang \(n\) pour prouver la propriété au rang \(n+1\)), et conclusion.
• Question 6 : La détermination de la limite de la suite \((p_n)\) se fait en analysant sa forme explicite. Elle repose sur la connaissance de la limite d'une suite géométrique de raison \(q = \frac{1}{5}\). Comme \(|q| < 1\), on a \(\lim_{n \to +\infty} q^n = 0\).
• Question 7 : Cette dernière question demande de trouver le rang \(n\) à partir duquel les termes de la suite sont très proches de sa limite. Cela revient à résoudre l'inéquation \(|\frac{3}{4} - p_n| < 10^{-7}\), qui se transforme en \(\frac{13}{4} (\frac{1}{5})^n < 10^{-7}\). La résolution se fait généralement à l'aide de la fonction logarithme népérien.

Exercice 2 : Étude d'une suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\) (6 points)

Cet exercice est une étude approfondie du comportement d'une suite définie par une relation de récurrence du type \(u_{n+1} = f(u_n)\), où \(f\) est une fonction du second degré \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{3}{2}\). L'étude dépend de la valeur initiale \(u_0 = a\).

• Question 1 : Une première approche expérimentale est demandée. En utilisant la calculatrice, on doit conjecturer le comportement (convergence, divergence, limite éventuelle) de la suite pour deux valeurs initiales distinctes, \(a=2,9\) et \(a=3,1\).
• Question 2 : On suppose que la suite converge vers un réel \(l\). Par continuité de la fonction \(f\), la limite \(l\) doit être un point fixe de \(f\), c'est-à-dire vérifier l'équation \(f(l) = l\). La résolution de cette équation du second degré donne les deux seules limites possibles pour la suite.
• Question 3 : Le cas \(a=2,9\) est étudié en détail.
  • On commence par étudier le sens de variation de la fonction \(f\) en calculant sa dérivée.
  • Ensuite, un raisonnement par récurrence est nécessaire pour démontrer que la suite est décroissante et minorée (ici, \(1 < u_{n+1} \leq u_n\)).
  • La conclusion s'appuie sur le théorème de la convergence monotone : toute suite décroissante et minorée est convergente. La limite est alors l'un des points fixes trouvés précédemment, que l'on identifie grâce à l'encadrement de la suite.
• Question 4 : Le cas \(a=3,1\) est abordé. En admettant que la suite est croissante, on montre par l'absurde qu'elle n'est pas majorée. Une suite croissante et non majorée diverge nécessairement vers \(+\infty\).

Exercice 3 : Loi binomiale et variables aléatoires (7 points)

Ce dernier exercice est consacré aux probabilités, avec une première partie sur la loi binomiale et une seconde sur les lois de variables aléatoires discrètes.

Partie A : Application de la loi binomiale

On modélise 100 répétitions indépendantes d'un jeu. La variable aléatoire \(X\) compte le nombre de succès.

• Question 1 : La première étape est de justifier que \(X\) suit une loi binomiale. Il faut pour cela vérifier les conditions d'un schéma de Bernoulli : répétition d'épreuves identiques et indépendantes, avec deux issues (succès/échec). Il faut ensuite calculer la probabilité \(p\) d'un succès à une épreuve, en utilisant un arbre de probabilités pour le jeu en deux étapes. Les paramètres de la loi \(\mathcal{B}(n,p)\) sont alors \(n=100\) et la valeur de \(p\) calculée.
• Questions 2, 3 et 4 : Ces questions sont des calculs classiques de probabilités avec une loi binomiale, à effectuer à la calculatrice : calcul de \(P(X=k)\), \(P(X \leq k)\) (probabilité cumulée), et \(P(X \geq k)\) (en utilisant l'événement contraire \(1 - P(X < k)\)).
• Question 5 : Cette question est une application directe de l'espérance d'une loi binomiale. On calcule \(E(X) = n \times p\) pour trouver le nombre moyen de bons d'achat gagnés sur 100 jeux. On interprète ensuite ce résultat pour répondre à la question sur le budget.

Partie B : Étude de variables aléatoires discrètes

Les règles du jeu changent, introduisant deux nouvelles variables aléatoires, \(Y\) et \(Z\), représentant des gains.

• Question 1 : Il est demandé d'établir la loi de probabilité pour chaque variable. Pour \(Y\), il s'agit d'une loi uniforme sur un ensemble de valeurs. Pour \(Z\), c'est une loi de Bernoulli. Il faut lister les valeurs prises par chaque variable et les probabilités associées.
• Question 2 : On calcule l'espérance et la variance de \(Y\) et de \(Z\) à partir de leurs lois de probabilité, en utilisant les formules \(E(X) = \sum x_i p_i\) et \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\).
• Question 3 : La dernière question porte sur la somme des deux variables. On calcule l'espérance du gain total \(Y+Z\) en utilisant la linéarité de l'espérance : \(E(Y+Z) = E(Y) + E(Z)\). La variance de la somme est également calculée, en supposant l'indépendance des étapes du jeu, ce qui donne \(V(Y+Z) = V(Y) + V(Z)\).