Bibliothèque de contrôles

Le programme de mathématiques en classe de Terminale Spécialité est dense, et le chapitre abordant la loi des grands nombres, les probabilités et les suites numériques en constitue un pilier fondamental. Ces notions exigent une grande rigueur analytique, car elles font le lien entre les probabilités conditionnelles, le comportement asymptotique des suites et les variables aléatoires. Pour vous aider à maîtriser ces concepts complexes, cette page regroupe 1 contrôle corrigé complet. Ce devoir surveillé, accompagné de sa correction détaillée au format PDF, constitue un support de révision incontournable. En vous plongeant dans ces exercices corrigés, vous pourrez évaluer votre niveau et vous préparer efficacement pour vos prochains DS.

Contrôle Probabilités, suites et loi des grands nombres - sujet 18

Ce sujet de contrôle propose une évaluation particulièrement complète et exigeante, conçue pour être réalisée en deux heures. Il balaie un large spectre de compétences techniques attendues en Terminale Spécialité, en s'articulant autour de trois exercices distincts qui mêlent probabilités conditionnelles, étude de suites numériques, raisonnement par récurrence et loi binomiale.

L'exercice 1 est évalué sur sept points et met en scène un problème classique de probabilités dynamiques basé sur un jeu vidéo, où l'issue d'une partie dépend directement de la précédente.

• La première question demande d'appliquer la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité de gagner la deuxième partie. Cela nécessite de construire un arbre pondéré modélisant les deux premières parties, afin d'additionner la probabilité de gagner les deux parties consécutives et la probabilité de perdre la première mais de gagner la seconde.
• La deuxième question se concentre sur les probabilités conditionnelles inversées, en demandant de calculer la probabilité d'avoir perdu la première partie sachant que la deuxième est gagnée, ce qui fait appel à la formule de Bayes.
• Ensuite, il faut déterminer la probabilité de gagner au moins une partie sur les trois premières. La méthode optimale expliquée dans la correction détaillée consiste à passer par l'événement contraire, c'est-à-dire calculer la probabilité de perdre les trois parties, puis de retrancher ce résultat à un.
• La quatrième question fait le lien avec les suites en demandant d'établir une relation de récurrence. L'élève doit démontrer, via les probabilités totales, que la probabilité de gagner au rang n plus un est égale à un cinquième de la probabilité au rang n, plus trois cinquièmes, formant ainsi une suite arithmético-géométrique.
• La cinquième question exige une rédaction rigoureuse pour un raisonnement par récurrence. Il s'agit de prouver la forme explicite de la suite, à savoir que le terme au rang n est égal à trois quarts moins treize quarts multipliés par un cinquième à la puissance n, en respectant les étapes d'initialisation, d'hérédité et de conclusion.
• La sixième question porte sur la détermination de la limite de cette suite. L'élève doit utiliser les propriétés des suites géométriques : la raison étant un cinquième, sa valeur absolue est strictement inférieure à un, donc la limite de un cinquième à la puissance n quand n tend vers plus l'infini est égale à zéro.
• Enfin, la septième question demande de trouver le rang n à partir duquel les termes de la suite sont extrêmement proches de la limite. Cela revient à résoudre une inéquation où la valeur absolue de la différence entre trois quarts et le terme de la suite est strictement inférieure à dix puissance moins sept. La résolution de cette inéquation exponentielle nécessite l'utilisation de la fonction logarithme népérien.

L'exercice 2, noté sur six points, propose une étude approfondie d'une suite récurrente définie par une fonction du second degré. Le terme de rang n plus un est l'image du terme de rang n par la fonction f qui à x associe un demi de x au carré moins x plus trois demis.

• La première question nécessite l'utilisation de la calculatrice pour émettre une conjecture sur le comportement de la suite (convergence et limite éventuelle) selon deux valeurs initiales distinctes : a égal deux virgule neuf et a égal trois virgule un.
• La deuxième question demande de supposer que la suite converge vers un réel l. Par continuité de la fonction, cette limite doit être un point fixe vérifiant l'équation f de l égal l. La résolution de cette équation du second degré fournit les deux limites possibles.
• La troisième question étudie le cas où la valeur initiale est deux virgule neuf. L'élève doit dériver la fonction pour étudier ses variations, puis utiliser un raisonnement par récurrence pour démontrer que la suite est décroissante et minorée par un. Le théorème de la convergence monotone permet alors de conclure que la suite converge vers l'un des points fixes.
• La quatrième question aborde le cas où la valeur initiale est trois virgule un. En admettant que la suite est croissante, il faut démontrer par l'absurde qu'elle n'est pas majorée. Une suite croissante et non majorée divergeant vers plus l'infini, l'élève déduit ainsi le comportement asymptotique de cette seconde situation.

L'exercice 3, sur sept points, est entièrement consacré aux variables aléatoires et à la loi binomiale, divisé en deux parties.

• La partie A modélise cent répétitions indépendantes d'un jeu. L'élève doit d'abord justifier que la variable aléatoire comptant le nombre de succès suit une loi binomiale en vérifiant les critères du schéma de Bernoulli, puis calculer la probabilité d'un succès grâce à un arbre de probabilités. Les questions suivantes sont des calculs classiques à la calculatrice : probabilité d'obtenir exactement k succès, probabilité cumulée pour au plus k succès, et probabilité d'au moins k succès en utilisant l'événement contraire. La dernière question de cette partie applique la formule de l'espérance (n multiplié par p) pour trouver le nombre moyen de gains sur cent jeux et répondre à une problématique de budget.
• La partie B modifie les règles et introduit deux nouvelles variables aléatoires représentant des gains, l'une suivant une loi uniforme et l'autre une loi de Bernoulli. Il faut établir leurs lois de probabilité respectives, puis calculer leurs espérances et leurs variances en utilisant les formules sommant les produits des valeurs par leurs probabilités. La question finale porte sur la somme des deux variables : l'élève calcule l'espérance du gain total grâce à la linéarité de l'espérance, puis la variance de la somme en s'appuyant sur l'indépendance des étapes du jeu, ce qui permet d'additionner les variances individuelles.

S'entraîner sur ce contrôle corrigé est une opportunité fantastique pour consolider vos acquis en mathématiques. L'ensemble des exercices balaye des notions incontournables qui tombent très fréquemment au baccalauréat. Pour optimiser votre révision, nous vous conseillons de télécharger ce devoir surveillé au format PDF et de le chercher en autonomie pendant deux heures, sans regarder vos cours. Une fois le temps écoulé, confrontez votre travail à la correction détaillée pour comprendre vos erreurs, affiner votre rédaction du raisonnement par récurrence et maîtriser parfaitement l'utilisation de votre calculatrice pour la loi binomiale. C'est grâce à cet entraînement régulier que vous gagnerez en confiance et réussirez brillamment vos prochains DS en Terminale Spécialité !