Bibliothèque de contrôles

Bienvenue sur cette page dédiée au chapitre sur les fonctions trigonométriques dans le programme de mathématiques de Terminale Spécialité. Ce chapitre est un pilier fondamental de l'analyse au lycée, exigeant une maîtrise rigoureuse de plusieurs concepts clés. Tout au long de votre année, vous serez amené à manipuler le cercle trigonométrique avec aisance, à résoudre des équations et inéquations complexes, et à mener des études de fonctions impliquant des sinus et des cosinus. Ces compétences sont absolument indispensables pour réussir au baccalauréat, notamment parce qu'elles apparaissent fréquemment dans des problèmes globaux ou des modélisations physiques. Pour vous accompagner dans votre révision et vous assurer d'être prêt pour votre prochaine évaluation, Galilée.ac vous propose sur cette page un contrôle corrigé détaillé. Ce devoir surveillé constitue un support d'entraînement idéal pour tester vos connaissances, identifier vos points d'amélioration et assimiler les méthodes de rédaction attendues par vos professeurs.

Contrôle Fonctions Trigonométriques - sujet 1

Ce premier sujet de devoir surveillé, prévu pour une durée classique de deux heures, propose un balayage exhaustif des compétences du chapitre. Le premier exercice est conçu pour évaluer vos réflexes sur les bases incontournables. Vous y trouverez des questions à réponses directes qui exigent une excellente connaissance du cercle trigonométrique et des formules de dérivation. Par exemple, vous devrez résoudre une équation où deux cosinus de x plus un est égal à zéro sur l'intervalle allant de zéro à deux pi. Cela nécessite d'isoler le cosinus pour trouver qu'il vaut moins un demi, puis de lire les solutions correspondantes sur le cercle. Une inéquation est également au programme, demandant de trouver quand le sinus de x est strictement inférieur à racine de deux sur deux sur l'intervalle allant de moins pi à pi. Ensuite, cet exercice teste votre virtuosité calculatoire avec la recherche de deux fonctions dérivées : l'une nécessitant la formule de la dérivée d'un produit, soit la forme u prime v plus u v prime, pour une expression contenant trois x multiplié par le cosinus de cinq x plus deux. L'autre question applique la formule de la dérivée d'un quotient pour la fonction définie par le sinus de x divisé par la somme du sinus de x et de cinq.

Le deuxième exercice approfondit des notions variées du programme de Terminale Spécialité. Il s'ouvre sur une étude de convexité : il vous faudra prouver qu'une fonction, le sinus de deux x, est concave sur l'intervalle ouvert allant de pi sur deux à pi, en calculant sa dérivée seconde et en justifiant que celle-ci est négative ou nulle. Vous devrez aussi déterminer une primitive pour la fonction cosinus de x sur sinus de x sur l'intervalle allant de zéro à pi, en reconnaissant habilement la forme u prime sur u dont la primitive fait intervenir le logarithme népérien de la valeur absolue. Enfin, une nouvelle inéquation trigonométrique impliquant que racine de deux moins deux cosinus de x est supérieur ou égal à zéro vient clore cette partie. La seconde moitié de ce contrôle corrigé se concentre sur des problèmes d'analyse plus longs. L'exercice trois est une étude de fonction trigonométrique complète, un grand classique des sujets de type bac. Vous étudierez la fonction définie par le sinus de x moins le carré du sinus de x. La rigueur de votre rédaction sera ici primordiale. Il faudra d'abord démontrer que la dérivée correspond au cosinus de x multiplié par le facteur un moins deux sinus de x, en utilisant la règle de dérivation d'une fonction à une certaine puissance. À partir de là, un tableau de signes rigoureux vous permettra de déduire les variations sur l'intervalle allant de zéro à deux pi, sans oublier de calculer précisément les minimums et maximums locaux.

Enfin, l'exercice quatre représente le point culminant de ce DS : un problème de synthèse et d'optimisation dans un cadre géométrique concret. L'objectif est de maximiser l'aire d'un triangle isocèle inscrit dans un cercle. La première étape de modélisation vous demandera d'utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle pour exprimer la base et la hauteur en fonction d'un angle alpha, aboutissant à une formule d'aire égale au sinus de alpha multiplié par la somme de un et du cosinus de alpha. La deuxième partie de l'exercice est l'étude de cette fonction sur l'intervalle allant de zéro à pi sur deux. Vous devrez calculer sa dérivée, qui donne deux cosinus carré de x plus cosinus de x moins un, puis la factoriser en résolvant une équation du second degré en posant un grand X égal au cosinus de x. Vous obtiendrez ainsi une forme factorisée faisant apparaître le terme cosinus de x moins un demi. Le tableau de variations final vous révélera la valeur exacte de l'angle pour laquelle l'aire du triangle est maximale, validant ainsi vos compétences d'analyse appliquées à la géométrie.

En vous entraînant sérieusement sur ce sujet et en étudiant attentivement sa correction détaillée, vous travaillerez l'ensemble des capacités exigées en Terminale Spécialité sur les fonctions trigonométriques. L'entraînement régulier sur des devoirs surveillés est la clé pour gagner en rapidité et en assurance face aux calculs. Avant de vous lancer dans la résolution de ces exercices corrigés, nous vous conseillons de revoir en profondeur vos formules, de savoir redessiner rapidement votre cercle avec ses valeurs remarquables, et de maîtriser sur le bout des doigts vos règles de dérivation. Prenez le temps de chercher chaque question au brouillon avant de consulter le PDF de correction. Cette démarche active de révision est la meilleure stratégie pour réussir votre prochain contrôle et aborder sereinement les épreuves de fin d'année.