Sujet de Bac Blanc de Mathématiques Terminale Spécialité - Sujet 9

Ce sujet de Bac Blanc pour la Terminale spécialité mathématiques est un excellent entraînement pour l'épreuve finale. D'une durée de 4 heures, il balaye une grande partie du programme à travers 4 exercices complets. Ce contrôle corrigé aborde l'étude de fonctions avec le logarithme népérien, le calcul d'intégrales, la géométrie dans l'espace, les suites numériques, le raisonnement par récurrence, les équations différentielles et les probabilités conditionnelles. C'est un sujet de maths type bac qui vous permettra de tester vos connaissances et votre gestion du temps.

Exercice 1 : Étude de fonction logarithmique et calcul d'aire

Cet exercice se concentre sur l'analyse complète de la fonction \(f\) définie sur \(]0; +\infty[\) par \(f(x) = \frac{1+\ln(x)}{x^2}\). Les questions vous guideront à travers les étapes classiques d'une étude de fonction :

• Limites et asymptotes : Calcul des limites aux bornes de l'ensemble de définition (en 0 et en \(+\infty\)), en utilisant notamment les théorèmes de croissances comparées. Recherche d'éventuelles asymptotes verticales ou horizontales à la courbe \(\mathscr{C}\).
• Dérivation et variations : Il vous est demandé de calculer la fonction dérivée \(f'(x)\), de résoudre l'inéquation \(f'(x) > 0\) pour étudier son signe, et enfin de dresser le tableau de variations complet de la fonction \(f\).
• Position de la courbe : L'exercice s'intéresse ensuite à l'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses en résolvant l'équation \(f(x)=0\), ce qui permet de déduire le signe de \(f(x)\).
• Intégration et calcul d'aire : La dernière partie aborde le calcul d'aire. On définit une aire \(I_n\) délimitée par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x=1/e\) et \(x=n\). En utilisant une primitive \(F(x)\) donnée, vous devrez calculer la valeur de l'intégrale \(I_n = \int_{1/e}^{n} f(x) dx\), puis étudier la limite de cette aire lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

Exercice 2 : Géométrie dans l'espace

Ce problème de géométrie vectorielle se déroule dans un repère orthonormé lié à un parallélépipède rectangle. Il fait appel à vos compétences sur les droites, les plans et le produit scalaire.

• Repérage et représentations : Détermination des coordonnées de points et établissement d'une représentation paramétrique de la droite \((GH)\).
• Produit scalaire et orthogonalité : Vous étudierez la position d'un point \(M\) mobile sur un segment. Le calcul du produit scalaire \(\vec{AM} \cdot \vec{CM}\) en fonction d'un paramètre \(k\) vous permettra de déterminer la condition pour que le triangle \(AMC\) soit rectangle en \(M\).
• Plans et projections : Pour une position fixe de \(M\), l'exercice demande de trouver une équation cartésienne du plan \((ACD)\), de justifier qu'un point \(K\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur ce plan, et d'en déduire le volume du tétraèdre \(MACD\).
• Distance et volumes : La dernière question consiste à calculer la distance d'un point à un plan, en l'occurrence la distance \(DP\) où \(P\) est le projeté orthogonal de \(D\) sur le plan \((AMC)\), ce qui correspond à la hauteur du tétraèdre.

Exercice 3 : Vrai ou Faux avec justification

Cet exercice rapide teste votre rigueur et votre maîtrise de plusieurs chapitres à travers cinq affirmations à valider ou invalider avec une preuve solide.

• Affirmation 1 : Équations différentielles. Vérifier si une fonction donnée est solution de l'équation différentielle \(y' - 2y = -6x + 1\).
• Affirmation 2 : Suites numériques. Analyser la nature de la suite \((u_n)\) définie comme la somme des termes d'une suite géométrique et déterminer sa limite.
• Affirmation 3 : Algorithmique. Comprendre un programme en langage Python qui calcule une somme et évaluer le résultat qu'il renvoie.
• Affirmation 4 : Dérivation et tangentes. Étudier l'existence d'une tangente horizontale pour une famille de fonctions \(f(x) = a\ln(x) - 2x\).
• Affirmation 5 : Convexité. Déterminer l'unique point d'inflexion d'une fonction \(g(x) = xe^{-x}\) en étudiant le signe de sa dérivée seconde.

Exercice 4 : Probabilités conditionnelles et suites

Cet exercice, un grand classique du bac, mêle probabilités et étude de suites. Le contexte est celui d'une flotte de vélos répartis entre deux points de location.

• Modélisation : Compléter des arbres pondérés pour représenter la situation probabiliste sur plusieurs jours.
• Calculs de probabilités : Utiliser l'arbre pour calculer des probabilités d'événements et des probabilités conditionnelles.
• Suite arithmético-géométrique : En s'appuyant sur la formule des probabilités totales, vous établirez une relation de récurrence du type \(a_{n+1} = u a_n + v\) entre les probabilités successives.
• Raisonnement par récurrence : Démontrer une formule explicite pour le terme général de la suite \((a_n)\) par récurrence.
• Limite de suite et interprétation : Calculer la limite de la suite \((a_n)\) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice, ce qui correspond à la répartition stable des vélos à long terme.
• Résolution d'inéquation : Déterminer le rang à partir duquel la probabilité dépasse un certain seuil, en résolvant une inéquation faisant intervenir une puissance, ce qui nécessite l'utilisation du logarithme.