Bibliothèque de contrôles

Le chapitre sur le dénombrement occupe une place centrale dans le programme de mathématiques en classe de Terminale Spécialité. Il pose les bases indispensables pour aborder sereinement les probabilités et développe une logique de raisonnement rigoureuse. Pour réussir dans ce domaine, il est crucial de maîtriser les différents modèles de tirages et de sélection : les listes ordonnées avec ou sans répétition, les arrangements, les permutations, ainsi que les combinaisons. La difficulté réside souvent dans la traduction de l'énoncé pour choisir le bon outil mathématique, qu'il s'agisse du principe additif, du principe multiplicatif ou du raisonnement par l'événement contraire. Afin de vous accompagner dans vos révisions et de vous préparer au mieux pour votre prochain devoir surveillé, cette page regroupe quatre contrôles corrigés spécifiquement dédiés à ce chapitre. Ces exercices corrigés, accompagnés d'une correction détaillée, constituent un entraînement idéal pour consolider vos acquis et acquérir des automatismes précieux.

Contrôle dénombrement plutôt facile

Ce premier sujet de mathématiques propose une évaluation complète d'une heure, idéale pour faire le point sur les notions essentielles du dénombrement. Le premier exercice se concentre sur la théorie des ensembles et les cardinaux. Vous y travaillerez le calcul du nombre d'éléments d'un produit cartésien en appliquant le principe multiplicatif, ainsi que la formule classique liant l'union et l'intersection de deux ensembles finis. Le deuxième exercice vous plonge dans l'univers classique des jeux de cartes. Il s'agit de dénombrer des mains de huit cartes tirées parmi trente-deux, d'abord de manière simultanée en utilisant les combinaisons, puis dans le cadre de tirages successifs impliquant plusieurs joueurs, avant de terminer par un problème de rangement faisant appel aux permutations.

La suite de ce contrôle corrigé propose des problèmes variés pour tester votre capacité d'adaptation. Vous devrez par exemple compter les façons de jouer les cordes d'un ukulélé, dénombrer des alignements de jetons sans remise à l'aide des arrangements, ou encore comparer le nombre d'anagrammes de mots comme ANAGRAMME et SPAGHETTI en gérant les lettres identiques. Un défi technique vous attend également avec la résolution d'une équation polynomiale impliquant des coefficients binomiaux et des factorielles. Enfin, le dernier exercice explore en profondeur les tirages dans une urne. Il vous fera naviguer entre les tirages successifs avec remise pour former des nombres, les tirages sans remise, et les tirages simultanés. Une seconde partie très intéressante vous demandera de résoudre un problème inverse : retrouver le nombre total de boules dans l'urne à partir du nombre de tirages possibles, aboutissant à une équation du second degré.

Contrôle dénombrement pure

Ce deuxième DS est entièrement focalisé sur l'analyse combinatoire et constitue un support de révision redoutable. Le premier exercice aborde l'attribution de jours de fermeture pour cinq cafés d'une ville. Vous devrez différencier les scénarios : choix libre modélisé par des listes avec répétition, choix de jours distincts nécessitant des arrangements, et enfin l'utilisation du dénombrement par le complémentaire pour garantir qu'au moins un café reste ouvert chaque jour. Le deuxième exercice traite de la formation de comités au sein d'une équipe mixte. Puisque l'ordre n'a pas d'importance, les combinaisons sont à l'honneur. Vous manipulerez le principe multiplicatif pour imposer une composition précise d'hommes et de femmes, et le principe additif pour gérer des conditions comme la présence d'au moins trois femmes.

Le troisième exercice de ce devoir vous ramène aux jeux de cartes, avec des tirages simultanés de cinq cartes parmi cinquante-deux. Les questions vous pousseront à raisonner par disjonction de cas et à utiliser le principe du complémentaire pour dénombrer des mains contenant au moins un As ou croisant des catégories complexes comme les Rois et les cartes noires. Pour clôturer ce sujet, un exercice de synthèse sur une urne remplie de jetons colorés vous obligera à jongler entre les trois modèles fondamentaux : le tirage simultané avec les combinaisons, le tirage successif sans remise avec les arrangements et les permutations pour gérer l'ordre des couleurs, et le tirage successif avec remise modélisé par les listes avec répétition.

Contrôle rapide dénombrement (30mn)

Si vous cherchez un entraînement express, ce contrôle de trente minutes est fait pour vous. Conçu pour valider rapidement les compétences clés, il démarre par un exercice fondamental sur un ensemble de quatre éléments. Vous devrez calculer le nombre total de sous-ensembles en utilisant les puissances de deux, puis lister et dénombrer les sous-ensembles de deux et trois éléments grâce aux combinaisons. L'exercice exige ensuite de calculer le nombre de permutations possibles de cet ensemble avec la factorielle, et de dénombrer les listes ordonnées de deux éléments distincts, ce qui correspond aux arrangements.

Le second exercice propose une application concrète avec la formation d'un groupe de cinq personnes à partir de huit femmes et sept hommes. Vous calculerez d'abord le nombre total de groupes possibles. Ensuite, vous devrez déterminer le nombre de groupes exclusivement masculins, puis le nombre de groupes non mixtes en additionnant les groupes d'hommes et les groupes de femmes. La dernière question est un grand classique des évaluations : trouver le nombre de groupes contenant au moins une femme et au moins un homme. La méthode la plus efficace, détaillée dans la correction, consiste à soustraire le nombre de groupes non mixtes du nombre total de groupes possibles, illustrant parfaitement l'utilité de l'événement contraire.

Contrôle Etudes Suites, Fonctions, Dénombrement, Position Relative Espace

Ce quatrième sujet de maths est beaucoup plus vaste et s'adresse aux élèves désireux de s'entraîner sur un format type baccalauréat, mêlant plusieurs chapitres de Terminale Spécialité. Bien qu'il contienne une section importante sur le dénombrement, il évalue également d'autres compétences cruciales. Le premier exercice vous fera travailler le raisonnement par récurrence, l'étude du sens de variation d'une suite définie par des coefficients binomiaux, et l'encadrement d'une fonction trigonométrique. Le deuxième exercice est dédié aux suites arithmético-géométriques, avec l'utilisation d'une suite auxiliaire, le calcul de limites, et la complétion d'un algorithme en langage Python pour déterminer un seuil. Vous devrez aussi exprimer la somme des termes de ces suites.

La suite du contrôle propose un grand problème d'analyse sur les fonctions exponentielles. Vous étudierez une fonction auxiliaire pour déterminer le signe du dénominateur de la fonction principale, calculerez des limites pour trouver des asymptotes horizontales, et utiliserez le théorème des valeurs intermédiaires pour discuter graphiquement du nombre de solutions d'une équation paramétrée. L'exercice de dénombrement vous replonge dans les tirages d'une urne contenant des boules noires et rouges, balayant méthodiquement les tirages avec remise, sans remise, et simultanés. Enfin, le dernier exercice traite de la géométrie dans l'espace. Vous manipulerez la relation de Chasles dans un parallélépipède pour prouver la coplanarité de points, avant de basculer sur de la géométrie analytique pour déterminer, à l'aide des coordonnées de vecteurs, la valeur d'un paramètre assurant la coplanarité de quatre points.

En vous confrontant à l'ensemble de ces devoirs surveillés, vous balayerez l'intégralité des situations classiques et des pièges fréquents du programme de Terminale Spécialité. Travailler sur un contrôle corrigé est la méthode la plus efficace pour repérer ses erreurs de raisonnement et comprendre comment structurer sa pensée face à un problème de comptage complexe. Avant votre propre évaluation, nous vous conseillons de refaire ces exercices corrigés sans regarder les solutions, de bien identifier les mots-clés dans les énoncés (simultanément, successivement, avec ou sans remise), et de toujours vérifier si l'ordre des éléments a de l'importance. N'hésitez pas à utiliser ces ressources sous forme de PDF pour vous mettre en conditions réelles, prenez le temps de rédiger soigneusement vos justifications, et servez-vous de la correction détaillée pour peaufiner votre rédaction mathématique.