14. Inverser un arbre de probabilité

Introduction

Allez les amis, on est parti pour inverser un arbre de probabilités. On commence avec l'événement \(A\), puis on continue avec les branches des événements \(B\). On vous demande \(P(B|A)\). Quel est le problème ? Vous avez l'habitude de lire directement \(P(B|A)\) et \(P(B|\overline{A})\), mais pour que vous puissiez lire \(P(A|B)\), il faudrait que votre arbre soit dessiné en commençant par l'événement \(B\) et ensuite l'événement \(A\). Or ce n'est pas le cas, vous l'avez dans l'autre sens. Donc il va falloir faire ce qu'on appelle une inversion de l'arbre.

Formule d'inversion

Pour ce faire, vous avez la formule suivante : vous savez que \(P(B)\) est la loi des probabilités totales. Donc \(P(B)\) vous pouvez le calculer en additionnant tous les chemins qui mènent à \(B\). Vous savez que \(P(A|B)\) est égal à \(P(A \cap B) / P(B)\), et vous pouvez calculer \(P(A \cap B)\) en suivant ce chemin là. \(P(B)\) vous l'aurez calculé jusqu'ici, donc il n'y a aucun problème pour que vous remplaciez ce terme.

Exemple de calcul

On commence avec \(P(B)\) d'après la loi des probabilités totales : \(0.2 \times 0.3 + 0.8 \times 0.2 = 0.06 + 0.16 = 0.22\). Donc ici j'ai \(0.22\), ça me donne instantanément ce que j'ai là \(0.78\) parce que n'oubliez jamais que la somme des probabilités d'une branche ça fait un. Maintenant, \(P(A|B) = P(A \cap B) / P(B) = 0.2 \times 0.3 / 0.22 = 0.06 / 0.22 = 0.2727\). Donc ici j'ai \(0.2727\) et du coup ici j'ai \(0.7273\). On recommence ici donc \(P(A|\overline{B}) = P(A \cap \overline{B}) / P(\overline{B}) = 0.8 \times 0.7 / 0.78 = 0.56 / 0.78 = 0.7179\). Donc ici j'ai \(0.7179\) et là j'ai \(0.2821\). Dans cet exercice, il faut utiliser une combinaison de deux formules : la formule des probabilités conditionnelles et la formule des probabilités totales pour trouver \(P(B)\). Refaites le calcul, c'est un exercice littéralement qui tombe souvent en contrôle. Vous aurez exactement ce genre de problème avec une petite histoire de restaurants et de statistiques. C'est exactement ce que vous allez avoir. On vous a mis des exercices en dessous, entraînez-vous.