Bibliothèque de contrôles

Le chapitre sur la dérivation et la convexité est une pierre angulaire du programme de mathématiques en classe de Terminale Spécialité. Il prolonge les acquis de la classe de Première en introduisant de nouvelles règles de calcul pour les fonctions composées, notamment avec la fonction exponentielle et le logarithme népérien. Au-delà du simple calcul de la fonction dérivée, ce chapitre permet d'approfondir l'étude de fonctions complexes : détermination des limites, construction du tableau de variations, recherche d'asymptotes et analyse de la position relative d'une courbe par rapport à sa tangente. Surtout, il introduit la notion fondamentale de convexité grâce à l'étude du signe de la dérivée seconde, permettant de repérer les points d'inflexion et de comprendre la courbure d'une représentation graphique. Pour vous accompagner dans votre entraînement, cette page regroupe 6 contrôles corrigés. Ces devoirs surveillés, accompagnés de leur correction détaillée, constituent une ressource idéale pour préparer vos évaluations.

Contrôle Dérivation et Convexité 1

Ce premier devoir surveillé est une évaluation complète et équilibrée. Il se décompose en plusieurs exercices ciblant des compétences bien précises :

• Calcul technique : un entraînement pur sur les formules de dérivation. Vous devrez y dériver une puissance de fonction polynôme, l'inverse d'une puissance, ainsi qu'un produit impliquant une fonction exponentielle composée.
• Étude de polynôme : l'analyse classique d'une fonction du troisième degré. Il vous faudra dresser son tableau de variations, déterminer l'équation d'une tangente, étudier la convexité via la dérivée seconde pour trouver le point d'inflexion, et analyser la position relative de la courbe par rapport à sa tangente.
• Théorie et paramètres : la recherche de points d'inflexion pour une famille de fonctions dépendant d'un paramètre réel, avec l'étude d'un cas particulier aboutissant à une parabole.
• Fonction irrationnelle : l'étude d'une fonction comportant une racine carrée, évaluant vos compétences sur le domaine de définition et l'analyse délicate de la dérivabilité aux bornes pour repérer des tangentes verticales.

Contrôle Convexité et représentations graphiques

Ce sujet d'une heure cible particulièrement l'aspect graphique et la maîtrise des fonctions composées. Voici ce que vous y trouverez :

• Fonctions composées : l'étude de deux fonctions distinctes. L'une composée avec une racine carrée nécessitant la résolution d'une inéquation du second degré, et l'autre composée avec une exponentielle.
• Lecture graphique : un incontournable des exercices de baccalauréat. À partir de la seule courbe de la dérivée seconde, vous devrez déduire les intervalles de concavité et de convexité de la fonction initiale, repérer ses points d'inflexion et identifier sa courbe représentative.
• Problème de synthèse : un exercice reliant l'étude d'une fonction auxiliaire à celle d'une famille de fonctions avec exponentielle, travaillant la dérivée d'un produit et la démonstration de propriétés géométriques liées à une tangente.

Contrôle logarithme népérien difficile

Ce contrôle corrigé d'un niveau d'exigence élevé intègre pleinement la fonction logarithme népérien aux concepts d'analyse. Il comporte quatre axes majeurs :

• Dérivation complexe : le calcul de dérivées de fonctions composées mêlant logarithme, exponentielle et puissances.
• Équations et inéquations : un bloc fondamental incluant des changements de variable et une gestion rigoureuse des domaines de validité pour des équations logarithmiques et exponentielles.
• Calcul de limites : la levée d'indéterminations grâce aux théorèmes de croissance comparée et à la reconnaissance du taux d'accroissement.
• Grand problème d'analyse : l'utilisation d'une fonction auxiliaire pour déterminer le signe d'une dérivée principale, l'application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la recherche d'une asymptote oblique et l'analyse de position relative.

Contrôle convexité terminale difficile

Ce sujet propose un entraînement intensif sur deux grands types de fonctions, idéal pour consolider ses méthodes de résolution :

• Fonction rationnelle : un exercice balayant le calcul des limites pour repérer une asymptote verticale, la décomposition algébrique pour mettre en évidence une asymptote oblique, le calcul de la dérivée sous forme de quotient et le tracé de la courbe.
• Fonction avec exponentielle : un exercice innovant demandant de retrouver l'expression algébrique d'une fonction à l'aide de paramètres à déterminer par lecture graphique grâce aux coordonnées de points et à une tangente horizontale. Il se poursuit par le calcul de limites avec croissances comparées et une étude complexe de position relative entre la courbe et sa tangente via une fonction auxiliaire.

Contrôle Etudes de Fonctions Convexité et Continuité 2

Ce long devoir surveillé de deux heures brasse de multiples compétences analytiques à travers quatre exercices variés :

• Problème avec exponentielle : l'utilisation classique d'une fonction auxiliaire pour en déduire les variations d'une fonction principale, son asymptote oblique et ses points d'inflexion via l'étude de la dérivée seconde.
• QCM sur la convexité : un questionnaire centré sur le calcul de la dérivée seconde, l'identification des intervalles de concavité et la position relative d'une courbe par rapport à ses tangentes.
• Étude de fonction rationnelle : la recherche minutieuse des limites aux abords des valeurs interdites pour identifier les asymptotes verticales, couplée à l'étude d'une asymptote oblique.
• Continuité en un point : l'évaluation de la continuité pour des fonctions définies par morceaux, en comparant rigoureusement les limites à gauche et à droite.

Contrôle Rappel de 1ère sur la Dérivation, Suites Numériques, Python et Proba

Ce dernier sujet est parfait pour consolider les bases avant d'attaquer les notions plus complexes de la Terminale Spécialité :

• Dérivation de polynôme : l'étude d'une fonction du troisième degré pour prouver sa stricte croissance, et la recherche des points où la tangente est parallèle à une droite donnée.
• Probabilités conditionnelles : l'application à un contexte de gestion de stock, utilisant un arbre pondéré, la formule des probabilités totales et le calcul d'une probabilité a posteriori.
• Suites numériques et algorithmique : la modélisation d'une baisse de déchets par une suite géométrique, la recherche d'un rang seuil à la calculatrice, et la programmation de cette recherche à l'aide d'une boucle conditionnelle en langage Python.

S'entraîner sur l'ensemble de ces exercices corrigés est la meilleure stratégie pour exceller en mathématiques. En variant les types de fonctions étudiées, qu'elles soient polynomiales, rationnelles, avec exponentielle ou logarithme népérien, vous développerez des automatismes précieux. Avant un devoir surveillé, nous vous conseillons de refaire ces sujets au format PDF en conditions réelles, sans regarder immédiatement la correction détaillée. Identifiez vos erreurs, reprenez vos calculs de dérivées pas à pas, et assurez-vous de bien rédiger vos justifications, en particulier lors de l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires ou de l'analyse de la convexité. Ces devoirs surveillés sont la clé pour des révisions réussies !