Bibliothèque de contrôles

Le chapitre sur la fonction logarithme népérien occupe une place centrale et incontournable dans le programme de mathématiques de la classe de Terminale Spécialité. En lien étroit avec la fonction exponentielle, ce chapitre synthétise de nombreuses notions d'analyse abordées au lycée : la continuité, la dérivation, la convexité, le calcul de limites et l'étude de fonctions composées. Maîtriser le logarithme est une compétence absolument essentielle, non seulement pour réussir l'épreuve du baccalauréat, mais aussi pour s'armer efficacement en vue d'études supérieures scientifiques. Pour vous accompagner dans votre préparation, cette page regroupe deux contrôles corrigés complets. Ces devoirs surveillés, accompagnés de leur correction détaillée, constituent un entraînement optimal. Ils vous permettront de vérifier vos acquis, de repérer vos erreurs fréquentes et de consolider vos méthodes de résolution à travers des exercices corrigés variés et progressifs.

Contrôle logarithme népérien difficile

Ce premier devoir surveillé est un entraînement exigeant qui passe en revue les grandes difficultés du chapitre. L'exercice un évalue votre maîtrise de la dérivation des fonctions composées impliquant le logarithme népérien. Vous devrez appliquer les formules de dérivation sur des expressions complexes, comme le logarithme de la somme de deux fonctions exponentielles, ou encore le logarithme d'une somme de puissances inverses, ce qui demande une grande rigueur dans les calculs algébriques. L'exercice deux se concentre sur les techniques de résolution d'équations et d'inéquations. Il débute par la résolution d'une inéquation du second degré, un prérequis fondamental, avant d'aborder une équation logarithmique nécessitant une attention toute particulière au domaine de définition et aux propriétés algébriques du logarithme. Vous y trouverez également des inéquations se ramenant au second degré via un changement de variable, des inéquations logarithmiques complexes exigeant une gestion stricte du domaine de validité, et enfin des applications du logarithme pour résoudre des inéquations exponentielles.

La suite de ce contrôle aborde l'analyse pure. L'exercice trois teste votre compréhension des limites et des formes indéterminées. Il vous faudra mobiliser les théorèmes de croissance comparée pour déterminer la limite de x moins le logarithme de x en plus l'infini, ou encore la limite de la racine carrée de x multipliée par le logarithme de x en zéro. Une autre limite fait appel à la définition du nombre dérivé avec la fonction sinus. Enfin, l'exercice quatre est un vaste problème d'étude de fonction divisé en deux parties. La première partie utilise une fonction auxiliaire polynomiale comportant un logarithme pour déterminer le signe de la dérivée de la fonction principale, calculer ses limites et dresser son tableau de variations. La seconde partie est consacrée à l'étude graphique : utilisation du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur une nouvelle fonction pour prouver l'existence d'une solution unique, vérification qu'une droite d'équation y égale x est une asymptote oblique, détermination de la position relative de la courbe par rapport à cette asymptote, et tracé final de la courbe.

Contrôle Fonction ln - sujet 2

Ce deuxième sujet propose un devoir surveillé de deux heures, parfaitement calibré pour réviser l'ensemble des compétences clés du programme. L'exercice un est un classique de la manipulation algébrique : il s'agit de résoudre une inéquation logarithmique. Les étapes sont primordiales, allant de la détermination de l'ensemble de définition en s'assurant que les arguments sont strictement positifs, jusqu'à l'utilisation de la croissance de la fonction logarithme pour se ramener à une inéquation polynomiale du second degré. L'exercice deux offre une étude de fonction approfondie mêlant un polynôme du second degré et un logarithme. Vous serez guidé à travers le calcul des limites avec interprétation de l'asymptote verticale, la justification de la dérivabilité, et le calcul des dérivées première et seconde. À partir de là, il vous faudra construire le tableau de variations, appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, et exploiter la dérivée seconde pour étudier la convexité de la fonction et trouver les coordonnées exactes de son point d'inflexion. Une question originale clôture cet exercice en demandant d'étudier la position relative de la courbe par rapport à une sécante.

Le troisième et dernier exercice de ce sujet fait un lien très pertinent entre l'étude de fonctions logarithmiques, les suites numériques récurrentes et l'algorithmique. La partie A reprend les bases avec l'étude des limites, des asymptotes et des variations d'une fonction définie par le logarithme d'un quotient. La partie B bascule sur l'analyse de la suite récurrente associée. Cela implique de rédiger une démonstration par récurrence pour prouver que la suite est bornée, d'étudier sa monotonie, puis d'invoquer le théorème de la convergence monotone pour justifier qu'elle admet une limite finie. La partie C se concentre sur la recherche de cette limite, qui est un point fixe de la fonction. En introduisant une fonction auxiliaire et en appliquant de nouveau le théorème des valeurs intermédiaires, vous démontrerez l'existence et l'unicité de cette solution. Le contrôle s'achève sur la complétion d'un algorithme en langage Python destiné à calculer une valeur approchée de cette limite.

En vous entraînant assidûment sur l'ensemble de ces sujets, vous travaillerez toutes les facettes de la fonction logarithme exigées pour le baccalauréat. Vous développerez des automatismes de calcul, une rédaction rigoureuse pour les démonstrations par récurrence ou l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires, et une meilleure appréhension des problèmes de synthèse. Avant de vous lancer dans un devoir surveillé, nous vous conseillons de revoir vos formules de dérivation et les propriétés algébriques fondamentales. Lors de vos révisions avec ces exercices corrigés, essayez de chercher chaque question par vous-même avant de consulter la correction détaillée en format PDF. Prêtez une attention toute particulière aux ensembles de définition des équations logarithmiques, qui constituent souvent le piège principal de ce chapitre. Bon courage pour vos révisions !