Bibliothèque de contrôles

Le chapitre sur les variables aléatoires constitue une étape majeure du programme de mathématiques en classe de Première STI2D. Cette notion fondamentale permet de modéliser des situations incertaines et de prendre des décisions éclairées face au hasard, des compétences essentielles pour les futurs techniciens et ingénieurs. Pour maîtriser ce chapitre, les élèves doivent être capables de définir une loi de probabilité à partir d'une situation concrète, de calculer et d'interpréter une espérance mathématique, ainsi que de reconnaître et d'utiliser les lois de référence telles que la loi de Bernoulli et la loi binomiale. Afin de vous accompagner dans vos révisions, cette page regroupe un total de 1 contrôle(s) corrigé(s), spécialement conçu pour évaluer et consolider vos acquis. Ce devoir surveillé est accompagné d'une correction détaillée au format PDF, offrant un entraînement optimal pour préparer votre prochain DS dans les meilleures conditions.

Contrôle Variables aléatoires - sujet 1

Ce sujet de contrôle, d'une durée d'une heure et à réaliser sans calculatrice, propose une évaluation complète des concepts fondamentaux à travers quatre exercices variés. Le premier exercice prend la forme d'un questionnaire à choix multiples centré sur les automatismes. Il permet de vérifier la bonne compréhension des définitions et des formules de base sur les variables aléatoires discrètes. Vous y travaillerez :

• La lecture d'un tableau de loi de probabilité pour calculer des probabilités cumulées, par exemple la probabilité que la variable grand X soit inférieure ou égale à un, qui correspond à la somme des probabilités que grand X soit égal à zéro et que grand X soit égal à un. Il est également demandé de calculer la probabilité que grand X soit strictement supérieur à deux, ce qui correspond ici à la probabilité que grand X soit égal à cinq.
• Le calcul de l'espérance mathématique en utilisant la formule classique de la somme des valeurs multipliées par leurs probabilités respectives.
• Des questions de cours ciblant l'espérance d'une variable suivant une loi de Bernoulli de paramètre zéro virgule trois, ainsi que le calcul de la probabilité d'obtenir quatre succès lors de la répétition de quatre épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre un demi, ce qui introduit directement la formule de la loi binomiale.

Le deuxième exercice vous plonge dans une mise en situation concrète et ludique : une course de drones où le franchissement de trois portes successives est modélisé par une loi binomiale. Chaque passage de porte représente une épreuve de Bernoulli indépendante. L'objectif est d'abord d'identifier l'ensemble des valeurs possibles pour la variable aléatoire correspondant au nombre de portes franchies, c'est-à-dire zéro, un, deux ou trois, puis de traduire des événements en langage courant, comme le fait de franchir au plus une porte. Pour vous guider, la construction d'un arbre pondéré est demandée afin de retrouver visuellement des probabilités spécifiques, comme franchir exactement deux ou trois portes. Vous devrez ensuite dresser le tableau complet de la loi de probabilité et calculer des probabilités cumulées. L'exercice se poursuit avec le calcul et l'interprétation de l'espérance pour cette loi binomiale, signifiant qu'en moyenne, sur un grand nombre de courses, le pilote franchit un certain nombre de portes. Pour finir, une nouvelle variable modélisant le gain du joueur est introduite via une transformation affine du type trois fois grand X moins cinq. En appliquant la propriété de linéarité de l'espérance, vous devrez déterminer si ce jeu est rentable et prendre une décision.

Le troisième exercice explore la notion d'échantillonnage et de fluctuation à travers l'étude d'une flotte de trottinettes en libre-service. La situation initiale, centrée sur le niveau de batterie faible d'une trottinette, se modélise par une loi de Bernoulli dont il faut préciser le paramètre de succès et l'espérance. La suite de l'exercice est plus pointue et sollicite vos capacités d'analyse de données. À partir d'un histogramme présentant les fréquences observées sur cinq cents échantillons simulés, vous devrez lire des informations graphiques, calculer un intervalle de fluctuation et vérifier le pourcentage d'échantillons qui s'y trouvent. La dernière question vous met dans la peau d'un décideur : en confrontant une observation réelle à cette distribution d'échantillonnage simulée, vous devrez juger si le résultat obtenu est considéré comme normal ou rare, constituant ainsi une excellente introduction intuitive aux tests d'hypothèses.

Enfin, le quatrième exercice propose une application classique des probabilités dans le domaine de l'assurance pour smartphones. Vous serez amené à construire le tableau de la loi de probabilité de la variable représentant le coût pour la compagnie d'assurance, en associant les montants possibles, soit zéro, deux cent cinquante ou six cents euros, à leurs probabilités respectives. Le calcul de l'espérance est ici crucial, car il doit être interprété comme le coût moyen anticipé par contrat sur le long terme. En élargissant la réflexion à un millier de contrats, vous devrez estimer le bénéfice espéré par l'assureur, ce qui illustre concrètement la loi des grands nombres. La conclusion de l'exercice invite à distinguer l'espérance, qui reste une moyenne théorique, du résultat financier réel qui demeure toujours soumis à l'aléa.

S'entraîner régulièrement avec des exercices corrigés est la clé de la réussite en mathématiques. En travaillant sérieusement sur ce devoir surveillé, vous balayerez l'intégralité des compétences exigées en Première STI2D sur ce chapitre. Vous apprendrez non seulement à appliquer des formules, mais surtout à modéliser des problèmes réels, à justifier vos calculs et à interpréter vos résultats. Avant votre prochain contrôle corrigé, nous vous conseillons de refaire ce sujet en conditions réelles, c'est-à-dire en vous chronométrant et sans regarder la correction détaillée dans un premier temps. Une fois l'épreuve terminée, comparez minutieusement vos réponses avec le document PDF pour identifier vos erreurs éventuelles et comprendre les méthodes de résolution attendues par votre professeur. Cet entraînement rigoureux, couplé à une bonne révision de votre cours, vous permettra d'aborder votre DS avec confiance et sérénité.