Sujet de Bac Blanc Corrigé de Mathématiques - Terminale Spécialité

Ce sujet de Bac Blanc pour la Terminale spécialité mathématiques est un excellent entraînement pour l'épreuve finale. D'une durée de 4 heures, il balaye un large spectre du programme à travers quatre exercices indépendants : équations différentielles, étude de fonction, géométrie dans l'espace, probabilités conditionnelles, loi binomiale, fonction logarithme, suites numériques et calcul intégral. Ce corrigé détaillé vous permettra de vous auto-évaluer et de renforcer vos compétences sur des chapitres clés.

Exercice 1 : Équations Différentielles et Analyse de Fonction

Cet exercice est divisé en deux parties. La première se concentre sur la résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre, tandis que la seconde étudie en profondeur la fonction solution.

• Partie A : Résolution d'équation différentielle. On aborde l'équation \((E): y' + \frac{1}{4}y = 20e^{-\frac{1}{4}x}\).
  1. La première étape consiste à identifier une solution particulière de la forme \(g(x) = axe^{-\frac{1}{4}x}\) en déterminant la valeur du réel \(a\).
  2. Ensuite, on résout l'équation homogène associée \((E'): y' + \frac{1}{4}y = 0\), dont les solutions sont de la forme \(Ce^{-\frac{1}{4}x}\).
  3. On en déduit l'ensemble des solutions de \((E)\) en additionnant la solution générale de l'équation homogène et la solution particulière trouvée.
  4. Enfin, on utilise la condition initiale \(f(0) = 8\) pour déterminer la constante d'intégration et trouver l'unique solution du problème de Cauchy.
• Partie B : Étude de la fonction solution. La fonction \(f(x) = (20x + 8)e^{-\frac{1}{4}x}\) est analysée.
  • Il faut d'abord calculer sa dérivée \(f'(x) = (18 - 5x)e^{-\frac{1}{4}x}\), ce qui demande la maîtrise de la dérivation d'un produit.
  • L'étude du signe de la dérivée permet de construire le tableau de variations de \(f\), révélant un maximum.
  • Une question classique d'analyse applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour démontrer que l'équation \(f(x) = 8\) admet une unique solution \(\alpha\) dans un intervalle donné, ici \([14; 15]\).
  • L'exercice se termine par une approche algorithmique, avec l'analyse d'un script Python implémentant la méthode de dichotomie pour approcher la valeur de \(\alpha\).

Exercice 2 : Géométrie dans l'Espace

Cet exercice prend place dans un cube \(ABCDEFGH\) de côté 1, muni d'un repère orthonormé. Il teste la capacité à manipuler les coordonnées, les vecteurs, les équations de droites et de plans.

• On commence par déterminer les coordonnées de points clés du cube et du milieu d'un segment.
• Il s'agit ensuite de vérifier une équation cartésienne du plan \((BDG)\), qui est \(x + y - z - 1 = 0\).
• La notion d'orthogonalité est centrale : on doit justifier la représentation paramétrique d'une droite \(\Delta\) passant par un point \(L\) et perpendiculaire au plan \((BDG)\). Le vecteur directeur de la droite est alors un vecteur normal au plan.
• Le calcul de l'intersection de la droite \(\Delta\) avec une autre droite (l'axe des cotes) est demandé.
• Une question plus subtile demande d'interpréter géométriquement la relation entre les points : on doit reconnaître un projeté orthogonal d'un point sur un plan.
• L'exercice se conclut par des calculs de métrique : distance entre deux points, aire d'un triangle (après avoir montré qu'il est équilatéral), et enfin, le volume du tétraèdre \(KDBG\) en utilisant la formule \(V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h\), où la hauteur est la distance précédemment calculée.

Exercice 3 : Probabilités Conditionnelles et Loi Binomiale

Ce problème de probabilités est structuré en trois parties, allant des probabilités conditionnelles à l'application de la loi binomiale.

• Partie A : Arbre de probabilités. La situation est modélisée par un arbre pondéré. On calcule la probabilité d'une intersection d'événements, puis on utilise la formule de Bayes (ou la définition d'une probabilité conditionnelle) pour "inverser" le conditionnement. L'utilisation de la formule des probabilités totales est indispensable pour compléter les informations de l'arbre.
• Partie B : Loi binomiale. On considère un prélèvement de 5 systèmes d'alarme, assimilé à un tirage avec remise.
  1. Il faut justifier que la variable aléatoire \(X\), comptant le nombre de systèmes défectueux, suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) dont on précisera les paramètres \(n=5\) et \(p\).
  2. On calcule ensuite des probabilités classiques : \(P(X=k)\) et \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)\).
• Partie C : Seuil de probabilité. La dernière question est un problème de seuil. On cherche le plus petit entier \(n\) (nombre de systèmes prélevés) tel que la probabilité d'avoir au moins un système défectueux soit supérieure à 0,07. Cela mène à la résolution d'une inéquation de la forme \((1-p)^n < 0,93\), qui se résout à l'aide de la fonction logarithme.

Exercice 4 : Fonction Logarithme, Suite et Intégrale

Le dernier exercice est un problème d'analyse complet, articulé autour d'une fonction, d'une suite définie par récurrence et d'un calcul d'aire.

• Partie A : Étude de fonction. On étudie \(f(x) = x - \ln(x^2 + 1)\). Le calcul de la dérivée \(f'(x) = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}\) et l'étude de son signe permettent d'établir que la fonction est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). La partie se termine par un calcul de limite en \(+\infty\) qui fait intervenir une manipulation algébrique sur le logarithme et l'utilisation des croissances comparées.
• Partie B : Étude d'une suite. On s'intéresse à la suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(u_0=7\).
  1. Un raisonnement par récurrence est nécessaire pour prouver que la suite est décroissante et minorée par 0 (\(0 \le u_{n+1} \le u_n\)).
  2. Grâce au théorème de la convergence monotone, on en déduit que la suite converge.
  3. La limite \(l\) est trouvée en résolvant l'équation \(f(l) = l\), qui mène à \(l=0\).
• Partie C : Calcul intégral.
  • On interprète graphiquement l'intégrale \(I = \int_2^4 f(x)dx\) comme l'aire sous la courbe de \(f\), après avoir justifié que \(f\) est positive sur l'intervalle.
  • Enfin, à partir d'un encadrement de \(f(x)\) donné sur \([2; 4]\), on déduit un encadrement de l'intégrale \(I\) par intégration de l'inégalité.

Mots-clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale spécialité, Bac Blanc, Annales, Équations différentielles, Géométrie dans l'espace, Probabilités conditionnelles, Loi binomiale, Fonction logarithme, Suites numériques, Intégration, Théorème des valeurs intermédiaires.