Introduction
Allez les amis, on est parti pour calculer la variance et l'écart type d'une variable aléatoire et on s'y met tout de suite. Pour calculer la variance et l'écart type d'une variable aléatoire, il vous faut trois choses. Premièrement, il vous faut le tableau qui correspond à la loi de probabilité. Deuxièmement, il vous faut calculer l'espérance. C'est seulement une fois que vous avez fini l'espérance que vous pouvez espérer calculer la variance.
Exemple
Dans cet exercice, on lance un dé à six faces. On gagne le chiffre du dé, noté \(X\), en euros. Par exemple, si je fais un résultat de 4, je gagne quatre euros, et ainsi de suite. Le gain lié à l'expérience est donc \(X\). Le but est de déterminer la variance. Pour les étapes 1 et 2, je vais les faire en accéléré, on a déjà vu ça dans une compétence précédente.
J'ai fait ma loi de probabilité, j'ai calculé mon espérance. Maintenant, regardez bien la technique. Vous pouvez au choix essayer de comprendre la formule de la variance, ou vous pouvez faire ce que je fais. Je prends mon tableau, je vais commencer par enlever 3,25 (l'espérance) à tous les chiffres qui sont là. Une fois que j'ai fait ça, je mets tout au carré. Ensuite, je vais multiplier à chaque fois le haut par le bas et pour terminer, je vais faire la somme de tout ça.
Calcul de la variance
Cela donne une variance qui vaut bien \(1 - 3.5\)^2 \times \frac{1}{6} + (2 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} + (3 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6} + \ldots + (6 - 3.5)^2 \times \frac{1}{6}\). Félicitations, vous avez calculé votre variance ! Vous mettez un coup de calculatrice, moi je peux le faire et ça donne très facilement 2,91. Vous avez une valeur approchée de votre variance.
Calcul de l'écart type
Si vous voulez ensuite calculer l'écart type, il vous suffit juste d'utiliser le fait que c'est la racine de la variance, donc c'est la racine de 2,91, ce qui fait à peu près 1,71. Vous vous dites que c'est vachement compliqué cette histoire, et vous avez raison. C'est pourquoi vous devez vous entraîner une ou deux fois avec des séries qui sont un peu moins longues. Ensuite, on va voir comment calculer l'espérance, la variance et l'écart type avec un simple petit coup de calculatrice. En attendant, on a mis des exercices en dessous pour vous entraîner.