Bibliothèque de contrôles

Le programme de mathématiques de la classe de Première Spécialité marque une étape décisive dans l'apprentissage de l'analyse, et le chapitre consacré à la fonction logarithme népérien en constitue l'un des piliers fondamentaux. Souvent abordée après l'étude de la fonction exponentielle, dont elle est la fonction réciproque, la fonction logarithme nécessite une maîtrise absolue de la part des lycéens souhaitant consolider leur dossier scolaire et se préparer efficacement pour la classe de Terminale. Ce chapitre exige de comprendre en profondeur de nouvelles propriétés algébriques, de savoir dériver des fonctions composées complexes, d'étudier des variations, et de manipuler de nouvelles limites de référence ainsi que des croissances comparées pour lever des formes indéterminées. Pour vous accompagner dans cette exigence de rigueur et de technicité, cette page vous propose au total 1 contrôle corrigé complet, spécialement conçu pour refléter les attentes d'un véritable devoir surveillé. S'entraîner sur ce type de support est la méthode la plus efficace pour repérer ses propres failles, assimiler les méthodes de résolution incontournables et gagner en rapidité. La correction détaillée, disponible au format PDF, vous permet de comprendre chaque étape de calcul et d'améliorer votre rédaction mathématique, une compétence grandement valorisée lors des évaluations.

Contrôle Fonction ln - sujet 3

Ce sujet de contrôle de mathématiques, pensé pour le niveau Première Spécialité, propose une évaluation complète et exigeante sur le chapitre de la fonction logarithme. Il balaye l'ensemble des concepts clés à travers trois exercices très variés. Le premier exercice est un grand classique de l'analyse mathématique, structuré en deux parties complémentaires. Dans la première partie, vous êtes amené à étudier une fonction auxiliaire, appelée g de x, qui est définie par la somme de deux x au cube, de moins un, et du double du logarithme népérien de x, sur l'intervalle ouvert de zéro à plus l'infini. L'objectif principal de cette étape est de déterminer le signe de cette fonction. Pour y parvenir, il vous faudra calculer sa dérivée, dresser son tableau de variation complet en incluant soigneusement le calcul des limites aux bornes de l'ensemble de définition. Ensuite, l'application rigoureuse du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires vous permettra de démontrer l'existence d'une unique solution, nommée alpha, à l'équation g de x égale zéro. Vous pourrez alors en déduire le signe de la fonction auxiliaire. La seconde partie exploite ces résultats pour l'étude de la fonction principale, f de x, définie par deux x moins le quotient du logarithme népérien de x par x au carré. L'exercice vous guide à travers le calcul des limites en zéro et en plus l'infini, ce qui nécessitera de mobiliser vos connaissances sur les limites de référence et les théorèmes de croissances comparées. Vous devrez également démontrer l'existence d'une asymptote oblique à la courbe représentative, une droite delta d'équation y égale deux x. Cela implique de calculer la limite de la différence entre f de x et deux x en plus l'infini, puis d'étudier le signe de cette différence pour déterminer la position relative de la courbe par rapport à son asymptote. Enfin, le lien décisif entre les deux parties se révèle lorsqu'il s'agit de prouver que la dérivée de la fonction principale possède exactement le même signe que la fonction auxiliaire, permettant ainsi de finaliser le tableau de variation.

Le deuxième exercice de ce devoir surveillé propose une approche transversale en mêlant la fonction logarithme, les suites définies par récurrence et un soupçon d'algorithmique en langage Python. La première partie se concentre sur l'analyse d'une nouvelle fonction, f de x, définie par quatre fois le logarithme népérien de x plus un, auquel on soustrait le quotient de x au carré par vingt-cinq. Après l'étude classique de ses variations, vous devrez introduire une fonction h de x égale à la différence entre f de x et x. Le théorème des valeurs intermédiaires sera de nouveau votre meilleur allié pour prouver que l'équation f de x égale x admet une solution unique. Une question d'algorithmique vous demandera ensuite d'analyser un script Python conçu pour trouver un encadrement de cette solution par la méthode du balayage. La seconde partie de l'exercice bascule sur l'étude d'une suite récurrente, dont le premier terme vaut deux et dont le terme suivant est l'image du terme précédent par la fonction f. Une démonstration par récurrence est exigée pour établir que cette suite est croissante et majorée. En invoquant le théorème de la convergence monotone, vous pourrez affirmer que la suite converge vers une limite finie, et justifier que cette limite correspond précisément à la solution de l'équation étudiée précédemment. Enfin, le troisième exercice est un pur entraînement au calcul de dérivées complexes. Vous devrez dériver une fonction composée particulièrement dense, constituée du logarithme népérien d'une somme comprenant une constante et le produit du facteur x au carré plus un par l'exponentielle de moins trois x plus un. La réussite de cet exercice repose sur une connaissance infaillible des formules de dérivation, notamment la dérivée d'une fonction composée de type logarithme népérien de u, la règle d'un produit de fonctions, ainsi que la dérivée impliquant la fonction exponentielle. C'est un excellent test de technicité pour se prémunir contre les erreurs d'inattention.

En travaillant assidûment sur l'ensemble de ces exercices corrigés, l'élève de Première Spécialité s'assure une préparation optimale pour ses futures évaluations. Ce type d'entraînement régulier permet non seulement de consolider les bases théoriques du cours, mais aussi d'acquérir de précieux automatismes face aux questions classiques qui reviennent invariablement dans les sujets de devoir surveillé. Avant de vous lancer dans la résolution de ce contrôle, nous vous conseillons de relire attentivement vos fiches de révision, de mémoriser parfaitement vos formules de dérivation et vos limites de référence, et de vous isoler dans des conditions d'examen, sans calculatrice dans un premier temps si le sujet le stipule. N'hésitez pas à consulter la correction détaillée après chaque exercice pour comprendre vos éventuelles erreurs, analyser la rédaction proposée et affiner votre méthode de travail. La maîtrise de la fonction logarithme est un atout majeur qui vous servira tout au long de votre parcours scientifique, prenez donc le temps de décortiquer ce sujet avec la plus grande concentration.