Contrôle Corrigé sur les Équations Différentielles - Terminale STI2D

Ce sujet de contrôle pour la classe de Terminale STI2D est centré sur le chapitre des équations différentielles. D'une durée d'1h30, il évalue la connaissance des propriétés des solutions, la capacité des élèves à modéliser une situation physique et à analyser mathématiquement les solutions, ainsi que la compréhension d'une méthode d'approximation numérique. Ce document est une ressource idéale pour s'entraîner, avec des exercices concrets et progressifs. Mots-clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale STI2D, équations différentielles, vrai ou faux, bobine, constante de temps, tangente, méthode d'Euler, Python, exponentielle, logarithme, limites.

Exercice 1 : Additionner deux solutions ? (vrai ou faux) (5 points)

Cet exercice de type Vrai/Faux teste la compréhension des propriétés des solutions d'une équation différentielle. Chaque affirmation doit être justifiée par un calcul, une propriété du cours ou un contre-exemple.

• La première affirmation, vraie, rappelle que l'équation \(y' = ay\) admet une infinité de solutions, les fonctions \(x \mapsto ke^{ax}\), où \(k\) est un réel quelconque : c'est pourquoi une condition initiale est nécessaire pour en désigner une.
• La deuxième affirmation, vraie elle aussi, porte sur la somme de deux solutions de l'équation homogène \(y' = 3y\) : si \(f' = 3f\) et \(g' = 3g\), alors \((f+g)' = 3(f+g)\).
• La troisième affirmation est le piège de l'exercice : la somme de deux solutions de \(y' = 3y + 6\) n'en est pas une. Un contre-exemple suffit : la fonction constante \(-2\) est solution, mais la somme \(-4\) ne l'est pas, car le second membre est compté deux fois.
• La dernière affirmation, vraie, rappelle le résultat d'unicité du cours : une condition initiale détermine une seule solution de \(y' = ay + b\).

Exercice 2 : L'ouverture d'une gâche électrique (9 points)

Cet exercice plonge l'élève dans un contexte concret d'électrotechnique. Une porte est verrouillée par une gâche électrique, dont l'électroaimant libère le pêne dès que le courant atteint 0,45 A. La bobine, de résistance \(R = 24\ \Omega\) et d'inductance \(L = 0{,}12\) H, est alimentée sous 12 V, et l'intensité \(i(t)\), avec \(t\) en millisecondes, est solution de l'équation différentielle \(\frac{di}{dt} = -0{,}2i + 0{,}1\), avec \(i(0) = 0\).

• Partie A, le courant dans la bobine : on détermine la solution constante, \(0{,}5\) A, et l'on vérifie qu'elle est égale au rapport \(\frac{E}{R}\) : c'est le courant permanent. On résout ensuite l'équation avec la condition initiale pour obtenir \(i(t) = 0{,}5(1 - e^{-0{,}2t})\), puis on montre que le courant tend vers \(0{,}5\) A lorsque \(t\) tend vers l'infini.
• Partie B, l'esprit critique : un technicien affirme qu'au bout de la constante de temps \(\frac{L}{R} = 5\) ms, le courant est établi et la porte s'ouvre. Le calcul donne \(i(5) = 0{,}5(1 - e^{-1}) \approx 0{,}316\) A, soit seulement 63 % du courant final : l'affirmation est fausse.
• Une question de résolution d'équation détermine l'instant d'ouverture de la porte : l'équation \(i(t) = 0{,}45\) se ramène à \(e^{-0{,}2t} = 0{,}1\), ce qui fait intervenir le logarithme népérien et donne \(t = 5\ln(10) \approx 11{,}51\) ms, soit environ 2,3 constantes de temps.
• L'exercice se termine par l'étude de la tangente à l'origine : elle a pour équation \(y = 0{,}1t\) et atteint la valeur \(0{,}5\) à l'instant \(t = 5\) ms. On retrouve ainsi la constante de temps, telle qu'on la lit sur un enregistrement à l'oscilloscope : elle mesure la vitesse d'établissement du courant, pas la durée au bout de laquelle il est établi.

Exercice 3 : Approcher e pas à pas (Python) (6 points)

Ce dernier exercice introduit une approche numérique pour approximer la solution d'une équation différentielle : la méthode d'Euler. Il s'agit d'approcher la fonction exponentielle, solution de \(y' = y\) avec \(y(0)=1\), sans utiliser sa formule explicite.

• La formule d'itération d'Euler, \(y(t+h) \approx y(t)(1+h)\), et un script Python, qui découpe \([0\,;\,1]\) en \(n\) pas de longueur \(h=\frac{1}{n}\), sont fournis. La première question demande de dérouler l'algorithme à la main pour \(n=2\), soit un pas \(h=0{,}5\) (\(1{,}5^2 = 2{,}25\)), afin de bien comprendre son fonctionnement.
• Un tableau de résultats pour différentes valeurs de \(n\) (2,250 ; 2,488 ; 2,594 ; 2,653) est présenté. L'élève doit comparer ces approximations à la valeur exacte \(y(1) = e \approx 2{,}718\) et analyser la convergence : toutes les valeurs sont inférieures à \(e\), et elles s'en rapprochent lorsque le pas \(h\) diminue.
• Une question plus théorique demande d'expliquer pourquoi la méthode sous-estime la valeur réelle. La fonction exponentielle est croissante et de pente croissante : sur chaque intervalle, la courbe monte plus vite que la tangente utilisée par la méthode d'Euler, et l'erreur s'accumule toujours dans le même sens.
• Pour conclure, une question ouverte est posée sur les inconvénients d'un pas \(h\) trop petit (donc d'un nombre \(n\) de pas très grand), introduisant les notions de coût de calcul et d'accumulation des erreurs d'arrondi.