Analyse et Corrigé du Bac Blanc de Maths - Sujet 3 pour Terminale STI2D

Ce document propose une analyse détaillée et une correction d'un sujet de Bac Blanc de mathématiques, niveau Terminale STI2D. Le sujet, d'une durée de 2 heures, couvre plusieurs chapitres clés du programme et est noté sur 20 points. Il est composé de quatre exercices indépendants, balayant les nombres complexes, les probabilités, l'étude de fonctions, les intégrales et les équations différentielles. Ce corrigé est idéal pour les élèves souhaitant s'entraîner et valider leurs compétences avant l'épreuve finale.

Exercice 1 : Un tour de l'année en cinq questions

Cet exercice est un QCM revisité où plusieurs situations concrètes et indépendantes sont proposées. Il permet de tester des compétences variées.

• Question 1 : Application des pourcentages et des suites géométriques. Il faut calculer un taux d'évolution annuel moyen entre 2019 et 2025, ce qui revient à trouver la raison d'une suite géométrique. La formule utilisée est \( t_{moyen} = (\frac{V_{finale}}{V_{initiale}})^{1/n} - 1 \). Ensuite, on utilise ce taux pour une projection en 2028.
• Question 2 : Étude d'une fonction. On analyse la fonction \( f(x) = 2x + \frac{8}{x+1} \) sur l'intervalle [0; 5]. La première étape consiste à vérifier sa dérivée, \( f'(x) = \frac{2(x-1)(x+3)}{(x+1)^2} \). L'étude du signe de cette dérivée permet de dresser le tableau de variation de \( f \) et de déterminer son minimum sur l'intervalle.
• Question 3 : Primitives et calcul intégral. Il s'agit d'abord de justifier qu'une fonction \( G(x) = e^{x^2+x} \) est une primitive de \( g(x) = (2x+1)e^{x^2+x} \) en dérivant \( G(x) \). Puis, on applique le théorème fondamental du calcul intégral pour trouver la valeur exacte de \( I = \int_0^1 g(x) dx = [G(x)]_0^1 \).
• Question 4 : Statistiques à deux variables. À l'aide de la calculatrice, on détermine l'équation de la droite d'ajustement affine d'un nuage de points par la méthode des moindres carrés. Cette droite modélise la consommation d'une voiture électrique en fonction de sa vitesse. On l'utilise ensuite pour une estimation.
• Question 5 : Fonction logarithme. La question porte sur la relation entre le pH et la concentration en ions oxonium, donnée par \( pH = -\log([H_3O^+]) \). Il faut résoudre cette équation pour trouver \( [H_3O^+] \) à partir d'un pH donné, puis comparer les concentrations pour deux pH différents.

Exercice 2 : Les trois phases du réseau électrique

Cet exercice se concentre sur les nombres complexes et leur application en électricité pour modéliser des tensions triphasées.

• Question 1 : On demande de convertir des nombres complexes de leur forme exponentielle, comme \( z_2 = 230e^{-i\frac{2\pi}{3}} \), à leur forme algébrique \( a+ib \) en utilisant la formule d'Euler \( e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \).
• Question 2 : Il s'agit d'une simple somme de nombres complexes en forme algébrique, montrant une propriété fondamentale des systèmes triphasés équilibrés : \( z_1 + z_2 + z_3 = 0 \).
• Question 3 : Interprétation géométrique des nombres complexes. On justifie que les points B et C sont les images respectives de A et B par une même rotation de centre O, dont on doit préciser l'angle en calculant les rapports \( z_2/z_1 \) et \( z_3/z_2 \).
• Question 4 : On s'intéresse à la tension composée, représentée par la différence \( z_1 - z_2 \). Il faut la calculer sous forme algébrique, puis trouver son module et un argument pour en déduire sa forme exponentielle. Le module \( |z_1 - z_2| \) correspond à la valeur efficace de la tension composée (environ 400V).
• Question 5 : Retour aux tensions instantanées avec des fonctions sinusoïdales et application de formules de trigonométrie (formules d'addition) pour simplifier l'expression \( u_1(t) - u_2(t) \) et la mettre sous la forme \( A\cos(\omega t + \phi) \).

Exercice 3 : Les détecteurs de fumée d'une résidence étudiante

Cet exercice aborde les probabilités conditionnelles et la loi binomiale, deux thèmes majeurs du programme.

• Partie A :
  1. Construction d'un arbre pondéré pour modéliser la situation (choix du fournisseur et défaillance du détecteur).
  2. Calcul de la probabilité d'un événement (le détecteur est défaillant) en utilisant la formule des probabilités totales : \( P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) \).
  3. Calcul d'une probabilité conditionnelle a posteriori, \( P_D(A) \), qui nécessite d'inverser l'arbre ou d'utiliser la formule de Bayes.
  4. Test de l'indépendance de deux événements en comparant \( P(A \cap D) \) et \( P(A) \times P(D) \).
• Partie B :
  1. Justification qu'une variable aléatoire \( X \) suit une loi binomiale, en vérifiant les conditions d'un schéma de Bernoulli (répétition d'épreuves identiques et indépendantes à deux issues). On précise ses paramètres \( n=8 \) et \( p=0,03 \).
  2. Calcul de probabilités liées à cette loi : \( P(X=0) \) et la probabilité de l'événement contraire \( P(X \ge 1) \).
  3. Calcul de \( P(X=2) \) en utilisant la formule de la loi binomiale et le coefficient binomial donné par le triangle de Pascal.
  4. Calcul et interprétation de l'espérance mathématique \( E(X) = np \) pour estimer le nombre moyen de détecteurs à remplacer.

Exercice 4 : Deux documents sur un poêle de masse

Le dernier exercice est un problème de modélisation utilisant une équation différentielle pour décrire l'évolution de la température d'un poêle.

• Question 1 : Résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants de la forme \( y' = ay+b \). On trouve la solution générale puis la solution particulière vérifiant la condition initiale \( \theta(0) = 260 \).
• Question 2 : Calcul de la limite de la fonction solution \( \theta(t) \) quand \( t \to +\infty \) et interprétation physique du résultat (température d'équilibre).
• Question 3 : Confrontation du modèle mathématique à une affirmation commerciale. On résout l'équation \( \theta(t) = 100 \) pour vérifier la durée pendant laquelle la température reste au-dessus de 100°C.
• Question 4 : Recherche d'une condition initiale. On utilise le modèle pour déterminer la température initiale que le poêle devrait atteindre pour satisfaire la contrainte \( \theta(18) = 100 \).
• Question 5 : Calcul de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle [0; 12], qui se fait via le calcul d'une intégrale : \( V_{moy} = \frac{1}{12-0} \int_0^{12} \theta(t) dt \).