Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir comment vous allez vous retrouver face à des équations différentielles dans des énoncés et comment on va gérer ça très simplement. Je vous ai mis un petit énoncé qui s'affiche à ma gauche. On vient de sortir une tarte du four, on vous donne sa température initiale, elle est de 200 degrés. Quand je la sors du four, elle est très chaude, elle va refroidir. Je sais que sa température, la fonction température, j'appelle \(T\) qui est une fonction d'une variable qui s'appelle \(t\) qui est le temps. Donc de la même manière que j'ai \(f(x)\), je vais avoir une température qui est fonction du temps \(t\). Cette température est en heure, donc ça veut dire que ce que je vais mettre là-dedans, par exemple pour avoir la température au bout d'une heure et demie, je vais pas mettre \(t = 90\) minutes, je vais mettre \(t = 1.5\)h. Donc le résultat du temps, ça sera toujours un résultat en heure.
Résolution de l'équation différentielle
Cette fonction-là, elle suit une équation différentielle \(y' + 1.4y = 30\) et je vous demande de donner l'expression de la température en fonction du temps, c'est-à-dire en fait de résoudre l'équation différentielle et de me dire quand est-ce qu'elle passe sous la barre des 50 degrés. Alors comment est-ce qu'on va faire ça ? La résolution de l'équation différentielle, c'est-à-dire la question 1, c'est finalement la question qui va se faire le plus facilement. Comment on va faire ça ? On va dire bon, mon équation là, c'est le compte de vente de résoudre \(y' + 1.4y = 30\).
On va d'abord se la mettre sous la forme d'une des formules qu'on a appris par cœur, par exemple la formule \(y' = ay + b\). Problème, mon \(y\) il est de ce côté-là, moi je voudrais de l'autre côté. Pas de problème, je passe mon \(1.4\) de l'autre côté, il devient \(-1.4\), donc \(y' = -1.4y + 30\). Ok, je sais que quand j'ai une équation de cette forme là, les solutions s'écrivent \(ke^{ax} - \frac{b}{a}\). Sauf que ici, mon \(a\) il vaut \(1.4\), mon \(b\) il vaut \(30\) et c'est pas en fonction de \(x\) qu'on veut la voir, c'est en fonction du temps, donc on va noter \(t\) plutôt que \(x\).
Donc je sais que ma température en fonction du temps, ça va être \(k e^{-1.4t} + \frac{30}{1.4}\). Donc \(k e^{-1.4t} + 21.5\), avec \(k\) qui est un nombre réel. Le problème, c'est que je veux pas toutes les solutions, je veux la solution qui correspond à ma tarte. Et vous voyez bien qu'on peut pas garder ce \(k\), parce que si je vous demande quelle est la température de la tarte au bout de deux heures, donc si vous calculez \(T(2)\), vous allez remplacer ce \(t\) par \(2\), donc ça vous connaîtrez, ça vous connaîtrez, ça vous connaîtrez, par contre vous allez avoir ce \(k\) au début et on n'a jamais posé la question à un cuisinier "Quand est-ce que ça se répète ?" et le cuisinier vous répondre "Dans \(2.7k\) heures", jamais "Dans \(2.7\) heures" ou "Dans \(5.4\) heures" ou "Demain" ou "Après-demain", mais il n'y aura pas de \(k\).
Donc il va falloir se débarrasser du \(k\). Pour se débarrasser du \(k\), notez que dans l'énoncé on vous a donné une condition initiale, on vous a dit "Quand je la sors du four", autrement dit quand mon \(t\) il vaut \(0\), la température de ma tarte c'est \(200\) degrés. Donc j'ai le droit de prendre cette énoncé là et de remplacer \(t\) par \(0\), donc \(k e^{0} + 21.5 = 200\), du coup je peux isoler mon \(k\), \(k = 200 - 21.5 = 178.5\). Donc je peux déjà remplacer ici mon \(k\) par \(178.5\) et hop, c'est gagné, j'ai l'expression de la température de ma tarte en fonction du temps en heure, je peux encadrer et j'ai tous mes points.
Quand la température passe sous la barre des 50 degrés
Deuxième question, ça aurait pu être "Donnez la température au bout de 20 minutes", donc vous vous auriez calculé \(T(1/3)\), la température au bout d'une demi-heure ça aurait été \(T(1/2)\) et ainsi de suite. Sauf que là, c'est plus complexe, on vous a pas demandé ça, on vous a pas donné un temps et demandé la température, on vous a donné une température et on demande un temps. Autrement dit, on se demande quand est-ce que la température en fonction d'un temps qu'on connaît pas, qu'on va appeler \(t\), devient plus petit que \(50\).
Donc je prends juste cette expression là et je remplace les \(T\) par ça, donc quand est-ce que \(178.5 e^{-1.4t} + 21.5 < 50\). Je passe mon \(21.5\) de l'autre côté, quand est-ce que \(178.5 e^{-1.4t} < 28.5\). Je passe mon \(178.5\) de l'autre côté, donc quand est-ce que \(e^{-1.4t} < \frac{28.5}{178.5}\). Donc quand est-ce que \(e^{-1.4t} < 0.16\).
Sauf que moi, je veux pas savoir quand est-ce que \(e^{-1.4t} < 0.16\), je veux savoir quand est-ce que \(t < 0.16\). Donc pour me débarrasser de l'exponentielle qui est là, je vais composer mes deux côtés par \(\ln\). Le fait de composer par \(\ln\), ça va annuler l'exponentielle qui est là. Et on a donc \(-1.4t < \ln(0.16)\). On va diviser par \(-1.4\) des deux côtés pour avoir \(t\) tout seul, donc \(t > \frac{\ln(0.16)}{-1.4}\). Sauf que j'ai divisé par \(-1.4\), donc quand on divise par un nombre négatif, on change le signe. Et là, je prends ma calculatrice pour faire une petite application numérique, donc \(\ln(0.16) / -1.4\) ça me fait à peu près \(1.3\) heures.
Donc je sais que quand je sors ma tarte à \(200\) degrés, elle sera mangeable, donc elle sera sous les \(50\) degrés, au bout de \(1.3\) heures. Ça, c'est typique de ce qu'on peut vous demander en contrôle et au bac. On vous en a mis plein en dessous, avec parfois des équations différentes, celles qui sont directement données, parfois c'est à vous de les trouver. Entraînez-vous, ça tombe, vous êtes prêt pour le contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions.