Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir comment se débarrasser de la constante \( K \) qui apparaît dans nos solutions d'équation différentielle. On se fait ça tout de suite. On vous propose un exercice où vous avez, comme d'habitude, votre petite équation différentielle. Comme d'habitude, elle a un petit nom, elle s'appelle \( x \). Et puis, elle pourrait s'appeler Jean-Michel, sauf qu'au lieu de vous demander toutes les solutions, on va vous demander la solution qui passe par un point. Autrement dit, on va vous demander d'identifier la valeur de la constante pour cet exercice particulier.
Première étape : Résolution de l'équation différentielle
On va le faire en deux étapes. Première étape, on va le résoudre comme s'il n'y avait pas la condition. Deuxième étape, on va trouver la valeur de \( K \) qui nous permet de vérifier la solution. Ces équations, vous devez les résoudre très facilement : \( y' - 2y = 0 \), ça fait \( y' = 2y \). Vous voulez toujours vous débrouiller pour avoir \( y' \) tout seul. Vous reconnaissez une équation de la forme \( y' = y \) et du coup, vous savez que les solutions s'écrivent \( f(x) = K \exp(2x) \) avec \( K \) un nombre réel. On retrouve ici le petit 2 qui était là.
Deuxième étape : Trouver la valeur de la constante
Sauf que cette fois-ci, vous ne voulez pas toutes les solutions. Donc, on va virer ce bout là. Vous voulez la solution qui passe par un point (0,3). Donc, si je fais un repère, je mets mon point ici. Là dessus, c'est 0, 1, 2, 3. Ça, c'est mon point \( A \). Je veux ma fonction solution, peu importe, elle passe par \( A \). Si je dois traduire ça par une équation mathématique, si cette fonction, je l'appelle \( f \), ça veut tout simplement dire que quand je mets 0 dans \( f \), j'arrive sur 1, 2, 3. Autrement dit, j'ai \( f(0) = 3 \). Si c'était le point \( A \) de coordonnées (5,6), j'aurais fait \( f(5) = 6 \), et ainsi de suite.
Maintenant que j'ai ça, je vais remplacer là-dedans. \( x \) devient 0, donc là j'ai \( K \exp(2 \times 0) \), donc \( f(0) = 3 \). Sauf que \( 2 \times 0 \) ça me fait zéro, donc \( 3 = K \exp(0) \). Oui, mais \( \exp(0) \) ça me fait 1. Donc, ma solution particulière, c'est \( f(x) = 3 \exp(2x) \) et j'ai trouvé la valeur de \( K \).
On vous en a mis en dessous à la fois avec la formule \( y = y \) à la fois avec la formule \( y' = b \). Entraînez-vous, ça pour le coup, c'est vraiment les points entre 10 et 15 au contrôle, donc ça vaut le coup de savoir le faire. À vous de jouer, vous êtes des champions.