Introduction
Allez les amis, on est parti pour la première compétence : voir très tranquillement si une fonction qu'on vous a donné, par exemple celle-là, est bien solution d'une équation différentielle. On se fait ça tout de suite. Dans les équations différentielles, ce qui fait flipper, c'est la notation.
Comprendre la notation
Donc là, quand vous voyez un exercice comme ça, moi je flipperais pour au moins deux raisons. La première, c'est \(E\) là, qu'est-ce qui vient là ? Qu'est-ce que c'est que ce \(E\) devant une équation ? Calmons-nous, c'est juste une manière de nommer cette équation là. Cette équation là, elle s'appelle \(E\). Pourquoi est-ce qu'on fait ça ? Parce que parfois, dans les gros problèmes, on va se retrouver avec quatre ou cinq équations différentes et à chaque fois, plutôt que de dire "machin est solution de l'équation \(y' + 3y\)", on dit juste "machin est solution de \(E\)", "machin est solution de \(E1\)", "machin est solution de \(E5\)", et ainsi de suite. Donc ceux-là, on l'ignore, on fait comme si ça n'existait pas.
Ensuite, ce \(y\), c'est ce \(y\) là qui vous stresse. Ce \(y\), il veut juste dire "je suis une fonction qui a été dérivée plus trois fois cette fonction égale à l'exponentielle du triple de \(x\)".
Vérification de la solution
Autrement dit, si vous voulez vérifier que \(f\) est solution de cette équation, donc \(f\) est solution de l'équation \(E\), ça veut dire et c'est strictement équivalent à dire que quand je remplace \(y\) par \(f\), c'est vrai. Donc \(f' + 3f = e^{3x}\). Oui, mais \(f'\) et \(f\), je les ai. \(f\) est là, \(f'\), ben j'ai juste à dériver ce truc là. Ça me fait quoi si je dérive ce truc là ? Ben, la dérivée de \(e^{3x}\) c'est \(3e^{3x}\). Donc la dérivée de \(f(x)\), \(f'(x)\), c'est un sixième fois \(3e^{3x}\).
Donc ça voudrait dire que \(1/6\) de \(3e^{3x} + 3f(x)\), donc bah trois fois ça, donc \(3 \times 1/6\) de \(e^{3x}\), ça devrait être égal à \(e^{3x}\). Oui, sauf que \(1 \times 3 \times 1/6\) plus \(3/6\) de \(e^{3x}\), ça fait 1. Donc ça voudrait dire que \(e^{3x}\) facteur de \(3/6 + 3/6\) ça devrait faire \(e^{3x}\). Mais ça, c'est vrai parce que \(3/6 + 3/6\) ça fait un. Donc j'ai bien \(e^{3x} = e^{3x}\). Donc ça, c'est vrai. Donc ça, c'est vrai. Donc ça, c'est vrai. Donc ça, c'est vrai. Donc \(f\) est bien solution de \(E\). On vient de montrer qu'une fonction est solution de \(E\).
Donc, quand vous voulez montrer qu'une fonction est solution de \(E\), vous l'écrivez, ensuite vous remplacez dans votre fonction le \(y\) par \(f\) ou Jean-Paul ou machine, faut continuer jusqu'à ce que vous arriviez à quelque chose qui est vrai. On vous en a mis en dessous, ça peut être un peu plus compliqué, mais c'est vraiment ça. Ça peut être plus compliqué, mais c'est vraiment dans votre tête parce que là, par exemple, au lieu d'écrire \(3y\), j'aurais écrit \(3xy\). Donc là, il aurait juste fallu remplacer trois par trois \(x\), là par \(3x\). Enfin, c'est des trucs aussi bête que ça, c'est vraiment pas de quoi stresser. Entraînez-vous, j'ai mis des exercices en dessous à vous. Je vous laisse, vous avez du champ.