Introduction aux équations différentielles
Allez les amis, on est parti pour attaquer un nouveau chapitre décisif : les équations différentielles. On va essayer de comprendre dans cette vidéo à quoi ça sert et qu'est-ce que c'est.
Une équation différentielle, à quoi ça sert ? Ça sert en économie, ça sert en physique, ça sert en biologie. Ça sert chaque fois que vous étudiez quelque chose qui va dépendre de son propre état.
Exemples d'équations différentielles
Je vous donne un exemple tout bête. Vous êtes d'accord avec moi que quand on veut avoir de bonnes notes, on se met à travailler. Il y a un mécanisme qu'on connaît tous qui est de dire : quand je vais me mettre à travailler, si j'ai une bonne note, ça va me remonter le moral, je vais être encore plus efficace pour travailler. Du coup, la fois d'après, j'aurais une encore meilleure note. Et à l'inverse, si j'ai loupé mon contrôle, je vais avoir une mauvaise note et ça va me décourager et ça fera que le contrôle après, j'aurai une note qui sera encore moins bonne.
Ce principe, c'est de dire que mon évolution dépend de mon état. Plus j'ai de bonnes notes, plus je vais travailler, donc meilleures seront mes notes, donc meilleur je vais travailler, donc meilleur seront mes notes. Vous voyez cette espèce de boucle infinie ? C'est une équation différentielle.
Types d'équations
Petit tour de perspective sur les équations. Les toutes premières équations que vous avez eu l'habitude de maîtriser, c'était des trucs du style \(3x + 2 = 0\). C'était une équation, c'est-à-dire une phrase mathématique, une égalité mathématique avec une inconnue. Et l'inconnu que vous cherchiez quand vous résolviez \(3x + 2\), que vous passiez le \(2\) de l'autre côté et que vous divisiez par \(3\), c'était un nombre. Vous arrivez à la fin avec \(x = - \frac{2}{3}\).
On se rend compte qu'une équation, ça peut correspondre à la recherche d'un nombre, d'un couple de nombres, d'une matrice de nombres, ou même d'un espace. Vous pouvez imaginer tout ça d'équations.
Dans cette liste, il y a un type auquel on n'a pas pensé et qui est pourtant un type que vous connaissez : un type d'équation qu'on a déjà fait dans un des chapitres précédents, c'est les équations dont les solutions sont des fonctions.
Je vous donne un exemple tout bête. Si je vous demande maintenant, vous devez commencer à être chaud pour ceux qui ont pas encore fait le chapitre, tant pis. La primitive de \(f(x) = 3x + 2\). Quand on cherche la primitive de \(3x + 2\), on cherche une fonction qui, quand je la dérive, va me donner \(3x + 2\). Une des solutions de cette équation, quelque chose que je dérive me donne \(3x + 2\), c'est la fonction \(3x^2/2 + 2x\). En effet, quand je dérive ça, je tiens bien \(3x + 2\).
Donc vous savez déjà résoudre un certain type d'équations qui concerne des fonctions et qui font intervenir la dérivée. Des équations qui font intervenir la dérivée, ça s'appelle tout bonnement des équations différentielles.
Alors pour des soucis de notation, on va pas la noter comme ça cette fonction. On va plutôt dire, cette fonction, on l'appelle \(y\), et on va dire, quand je dérive \(y\), ça va me donner \(3x + 2\).
Conclusion
On pourrait compliquer la chose, parce que ça, vous allez voir, c'est assez facile à résoudre. On pourrait dire, je rajoute un petit nombre derrière, voire on pourrait même dire, je rajoute carrément une fonction derrière. Ça, c'est notamment pour toutes les histoires d'excitation en physique.
On va se faire tout ça pendant ce cours. On l'a découpé en 10 petites compétences tranquilles. Faites les exercices à chaque fois. On commence avec du très simple. Vous jouez, vous êtes des champions.