Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir à quel point c'est simple d'étudier les variations d'une fonction où il y a de l'exponentielle. On se fait ça tout de suite. Pour étudier une fonction avec exponentielle, c'est globalement la même stratégie que pour étudier les variations de n'importe quelle fonction. Première étape, on dérive. Deuxième étape, on étudie le signe de la dérivée. Et troisièmement, on en déduit que quand la dérivée est positive, la fonction est croissante. Quand la dérivée est négative, la fonction est décroissante.
Calcul de la dérivée
Alors, \(f(x) = 3x \exp(-2x^2)\). Pour commencer, je veux calculer la dérivée, et donc \(f'(x)\). Attention, c'est le piège typique dans lequel votre prof veut que vous tombiez. Vous allez dire : la dérivée de \(f(x)\) est \(3 \exp(-2x^2)\) et je dérive ça. Ce n'est pas vrai. Ce que vous avez là, c'est une fonction \(u(v)\) qui est cachée. J'ai \(u(v)\) et donc la dérivée de \(u(v)\) est \(u'(v)v' + uv'\). Donc \(3 \exp(-2x^2)\) plus une dérivée \(3x \exp(-2x^2)\). Or, la dérivée de \(\exp(u)\) est \(u' \exp(u)\). Donc la dérivée de ce truc là, c'est \(-4x \exp(-2x^2)\). Ça me fait donc \(3 \exp(-2x^2) - 12x^2 \exp(-2x^2)\).
Étude du signe de la dérivée
Si vous vous arrêtez là, vous n'arriverez jamais à étudier le signe de cette fonction. Pourquoi ? Parce que tant qu'on a une somme ou une différence entre deux objets, on ne peut pas savoir le signe. Tout ce qu'on sait faire, c'est des tableaux avec des produits entre les fonctions. Quand j'ai \(f(x) = uv\), je vais étudier chaque fonction et je fais une ligne avec \(u\), une ligne avec \(v\) et une ligne avec \(f'(x)\). Donc là, il faut repérer qu'on a un point commun entre les deux termes, \(\exp(-2x^2)\), et donc je peux le mettre en facteur. J'obtiens alors \(f'(x) = \exp(-2x^2)(3 - 12x^2)\).
Je peux commencer à travailler. Donc je vais faire une ligne avec \(\exp(-2x^2)\), une ligne avec \(3 - 12x^2\) et une ligne avec \(f'(x)\). On commence par \(3 - 12x^2\). Pourquoi je fais ça ? Parce que je montre que \(3 - 12x^2\) est en fait un polynôme du second degré. Pour trouver le signe d'un polynôme du second degré, on fait le delta, les racines et on utilise ensuite la phrase "le polynôme est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines". Donc mon delta ici, c'est \(b^2 - 4ac = 0 - 4(-12)(3) = 144\).
J'ai deux solutions \(x_1 = -1/2\) et \(x_2 = 1/2\). Donc j'étudie toujours pour \(x \in ]-\infty, -1/2[ \cup ]-1/2, 1/2[ \cup ]1/2, +\infty[\). Je sais que pour ces deux valeurs là, \(3 - 12x^2\) vaut zéro. Je sais ensuite que le polynôme est du signe de \(a\) c'est-à-dire négatif à l'extérieur des racines. Donc sur cette zone là, je vais mettre des moins.
Conclusion
Ensuite, \(\exp(-2x^2)\), c'est pas compliqué à étudier. C'est toujours positif. J'ai plus qu'à conclure. Ici, ça vaudra 0, ici ça vaudra 0. Moins par plus donne moins, plus par plus donne plus, moins par plus donne moins. J'ai étudié \(f'(x)\) et j'ai plus qu'à tirer une dernière ligne en disant que \(f(x)\) est croissante quand \(f'(x)\) est positive et décroissante quand \(f'(x)\) est négative. J'ai étudié les variations de \(f(x)\).
Petite remarque, j'avais des 0 sur \(3 - 12x^2\), je les ai descendu sur \(f'(x)\). Pourquoi ? Parce que \(f'(x) = (3 - 12x^2) \exp(-2x^2)\). Autrement dit, quand le numérateur est zéro, zéro fois un truc positif, ça va nous donner 0. Si j'avais eu \(\exp(-2x^2) / (3 - 12x^2)\), ça serait l'enfer. Pourquoi ? Parce que ça, ça vaudrait 0, ça ça vaudrait un truc positif. Quand je fais un truc positif divisé par 0, ça fait pas zéro, ça fait une valeur indéterminée.
Donc voilà, c'est vraiment sérieux. On attend de vous que vous contrôliez ça. Il n'y aura rien d'autre que ça. Une fonction avec de l'exponentielle, on la dérive, on fait un tableau de signes de la dérivée et on conclut par "quand la dérivée est positive, la fonction est croissante, etc.".