Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir une deuxième forme d'équation différentielle, celle où vous avez du \(y'\), du \(y\) mais aussi une constante. On va voir comment utiliser brutalement la formule qui s'affiche à droite avant de voir dans une prochaine compétence comment ça peut arriver en contrôle. On se fait ça tout de suite.
Formulation de l'équation différentielle
Alors, quand vous avez une équation différentielle où il y a du \(y'\), du \(y\) et une constante, la première chose à faire c'est de la mettre sous la forme \(y' = y + \text{quelque chose}\). Donc on veut \(y'\) tout seul. Donc ce que je vais faire, c'est que je vais commencer par envoyer tout ça de l'autre côté. Donc je vais dire que ce système que j'ai appelé \(E1\) mais que j'aurais pu appeler Jean-Paul, il devient \(2y' = 3y - 5\). Et je vais finir en virant ce \(2\) qui m'embête parce que je veux \(y'\) tout seul : \(y' = \frac{3y - 5}{2}\). Donc en fait \(\frac{3y}{2} - \frac{5}{2}\) et ça, ça fait \(\frac{3}{2}y - \frac{5}{2}\). Formidable, j'ai mon équation de la forme \(y' = ay + b\) avec \(b\) qui est négatif.
Solution de l'équation différentielle
Toutes les solutions de cette équation s'écrivent \(k \exp(ax - \frac{b}{a})\). Donc ça ressemble pas mal à ce qu'on avait si on n'avait pas le \(-\frac{5}{2}\). Donc \(k \exp(ax)\) sauf qu'on va rajouter \(-\frac{b}{a}\). Et j'écris donc que mes solutions c'est \(f(x) = k \exp(ax - \frac{b}{a})\). Donc le \(a\) c'est ce qu'il y a devant le \(y\), donc \(\frac{3}{2}\), et \(-\frac{b}{a}\) donc \(-\frac{5}{2} / \frac{3}{2}\). Et ça, ça me fait \(k \exp(\frac{3}{2}x + \frac{5}{3})\). Avec \(k\) qui est un nombre réel, et je peux en conclure que j'ai toutes les solutions.
Vous allez voir qu'en pratique, soit on vous demande de lâcher brutalement la formule, ce que vous avez le droit de faire. Vous avez le droit de dire les solutions c'est directement \(k \exp(ax - \frac{b}{a})\). Soit on va vous demander de passer par un "montrer que \(f - g\) est solution si et seulement si", et ça on va le faire dans une autre vidéo. En attendant, entraînez-vous, appliquez la formule, à vous de jouer, vous êtes des champions.