Introduction
Allons-y, nous allons aborder quelques limites supplémentaires, en particulier celles concernant la fonction exponentielle. Nous traiterons des limites concernant la fonction logarithme dans le chapitre dédié. Avec la fonction exponentielle, vous pouvez gérer l'essentiel de ses limites en examinant la forme de la fonction. Je vous rappelle que l'exponentielle est une fonction qui, à l'approche de moins l'infini, tend vers 0, mais qui ensuite augmente extrêmement rapidement. En 0, elle vaut 1 et à l'approche de plus l'infini, elle tend vers plus l'infini.
Limites de la fonction exponentielle
La limite de \(3e^x\) lorsque \(x\) tend vers l'infini est, si je me place sur la courbe de \(e^x\) et que je me déplace vers la droite (c'est-à -dire vers plus l'infini), alors cette portion de la courbe tend vers plus l'infini. Si je multiplie par 3 quelque chose qui tend vers plus l'infini, le résultat tendra également vers plus l'infini.
De la même manière, la limite de \(e^x\) lorsque \(x\) tend vers moins l'infini est, si je me place sur la courbe de \(e^x\) et que je me déplace vers la gauche (c'est-à -dire vers moins l'infini), alors cette portion de la courbe tend vers 0. Si je multiplie par 0 quelque chose qui tend vers 0, le résultat sera simplement 0.
Limites de quotients impliquant la fonction exponentielle
Enfin, la dernière limite à considérer est celle de \(\frac{e^x}{x^n}\). En réalité, nous reverrons ces limites plus tard lors de l'étude des quotients de limites. Ce que vous devez savoir pour l'instant, c'est que lorsque vous avez \(\frac{e^x}{x^n}\), c'est toujours \(e^x\) qui "gagne", et donc la limite sera toujours plus l'infini. Nous y reviendrons plus tard. En attendant, je vous invite à faire les exercices qui sont proposés ci-dessous. À vous de jouer !