Découvrez ce sujet de bac blanc de mathématiques pour la Terminale STI2D, conforme au programme de la spécialité pour le format 2027. Ce contrôle corrigé, d'une durée de 2 heures, est un excellent entraînement pour l'épreuve finale. Il balaye des chapitres fondamentaux tels que les nombres complexes, les équations différentielles, le calcul intégral et les fonctions logarithme et exponentielle. Chaque exercice est contextualisé, mêlant applications physiques et concepts mathématiques abstraits, ce qui est typique de la filière STI2D.

Exercice 1 : Complexes, oscillations et logarithme

Cet exercice est une excellente révision de plusieurs chapitres clés du programme de Terminale STI2D. Il aborde les nombres complexes sous leur forme exponentielle, une introduction aux équations différentielles du second ordre (via la vérification de solution), et le lien fondamental entre dérivation et intégration avec la fonction logarithme.

• Question 1 : On étudie le nombre complexe \(z = 3 - 3i\).
  • a. Il s'agit de calculer son module \(|z| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{2}\) et un argument \(\arg(z) = -\frac{\pi}{4}\). La conversion en forme exponentielle \(z = 3\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\) est une compétence de base.
  • b. On utilise ensuite les propriétés de la forme exponentielle pour calculer \(z^2 = (3\sqrt{2})^2 e^{-i\frac{2\pi}{4}} = 18e^{-i\frac{\pi}{2}}\). Le retour à la forme algébrique \(z^2 = -18i\) est demandé, avec une vérification par le développement direct de \((3-3i)^2\).
• Question 2 : On explore une fonction trigonométrique \(g(t) = 4\cos(3t) - 2\sin(3t)\).
  • a. La première étape consiste à vérifier que \(g\) est solution d'une équation différentielle du second ordre, \(y'' + 9y = 0\). Cela demande de dériver deux fois la fonction \(g\) et de substituer dans l'équation.
  • b. La seconde partie est un classique de la physique : transformer une expression de la forme \(a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t)\) en \(A\cos(\omega t + \varphi)\). On doit montrer que \(A = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{16+4} = 2\sqrt{5}\) et trouver les caractéristiques de l'angle \(\varphi\).
• Question 3 : Cette question fait le lien entre primitive et intégrale à travers la fonction logarithme.
  • a. On doit montrer que la dérivée de \(k(x) = x\ln(x) - x\) est \(k'(x) = \ln(x)\). C'est une application directe des formules de dérivation, notamment celle d'un produit.
  • b. Cette dérivée prouve que \(k(x)\) est une primitive de \(\ln(x)\). On peut alors calculer la valeur exacte de l'intégrale \(\int_1^e \ln(x) dx = [k(x)]_1^e = k(e) - k(1) = 1\).
• Question 4 : Retour aux nombres complexes avec une transformation géométrique \(z' = e^{i\frac{\pi}{4}}z\). Il faut identifier cette transformation comme une rotation d'angle \(\frac{\pi}{4}\) et de centre l'origine, puis l'appliquer à un point spécifique.

Exercice 2 : Le filtre d'une enceinte acoustique

Ce second exercice, très concret, utilise les outils mathématiques pour modéliser un circuit électrique en physique. C'est un sujet typique de la filière STI2D où les maths servent d'outil pour les sciences appliquées. On y retrouve des nombres complexes, de la trigonométrie et du calcul intégral.

• Question 1 : À partir de l'intensité \(i(t) = 0,5\cos(\omega t)\), on doit dériver pour trouver \(i'(t)\) puis établir l'expression de la tension \(u(t) = 3\cos(\omega t) - 4\sin(\omega t)\), en utilisant la loi d'Ohm généralisée.
• Question 2 : L'exercice introduit l'impédance complexe \(Z = 6+8j\). Le calcul de son module \(|Z|=10\) et de son argument \(\varphi\) (tel que \(\cos\varphi = 0,6\) et \(\sin\varphi = 0,8\)) est demandé, ainsi que sa forme exponentielle \(Z=10e^{i\varphi}\).
• Question 3 : On fait le lien entre les deux approches : la forme trigonométrique de \(u(t)\) et l'impédance complexe. On montre via une formule d'addition que \(u(t) = 5\cos(\omega t + \varphi)\), où l'amplitude et le déphasage sont directement liés au module et à l'argument de \(Z\).
• Question 4 : Le calcul de la puissance instantanée \(p(t) = u(t) \times i(t)\) mène à des expressions trigonométriques. La question guide vers une linéarisation de \(\cos^2(\omega t)\) pour simplifier l'expression de \(p(t)\).
• Question 5 : La dernière question porte sur la puissance moyenne, qui est la valeur moyenne de la fonction \(p(t)\) sur une période.
  • a. Il faut d'abord trouver une primitive de \(p(t)\).
  • b. Ensuite, on calcule l'intégrale \(\frac{1}{T}\int_0^T p(t) dt\) pour obtenir cette puissance moyenne \(P\).
  • c. Finalement, une interprétation physique est demandée pour connecter le résultat mathématique à la réalité du circuit.

Exercice 3 : Le pompage d'une enceinte à vide

Ce dernier exercice est un problème complet sur les équations différentielles du premier ordre et la fonction exponentielle. Il modélise l'évolution de la pression dans une enceinte, un problème classique de décroissance exponentielle avec un terme constant.

• Question 1 : La première étape est de traduire l'énoncé physique en une équation mathématique. On justifie que la pression \(p(t)\) suit l'équation différentielle \(y' = -0,6y + 0,3\). C'est une compétence de modélisation essentielle.
• Question 2 : On passe à la résolution de cette équation de la forme \(y'=ay+b\).
  • a. On détermine l'ensemble des solutions générales, de la forme \(y(t) = Ce^{-0,6t} + 0,5\).
  • b. En utilisant la condition initiale (pression atmosphérique à \(t=0\)), on trouve la constante \(C\) pour obtenir la solution particulière du problème : \(p(t) = 0,5 + 999,5e^{-0,6t}\).
• Question 3 : On utilise la solution trouvée.
  • a. Un simple calcul d'image pour trouver la pression après 5 minutes.
  • b. Une question plus technique qui demande de déterminer à partir de quel instant la pression devient inférieure à 10 hPa. Cela revient à résoudre une inéquation avec une fonction exponentielle, \(p(t) \le 10\), ce qui nécessite l'utilisation du logarithme népérien.
• Question 4 : On s'intéresse au comportement à long terme en calculant la limite de \(p(t)\) en \(+\infty\). Cela permet de déterminer la pression minimale atteignable dans l'enceinte, compte tenu de la fuite.
• Question 5 : Une question d'analyse et de raisonnement. On imagine un cas idéal sans fuite, où l'équation devient \(y'=-0,6y\). Il faut alors vérifier une affirmation sur le 'temps de demi-pression' et justifier pourquoi il est constant, une propriété fondamentale de la décroissance exponentielle.

En résumé, ce sujet de maths type bac est très complet. Il permet de tester votre capacité à passer d'une forme de nombre complexe à une autre, à modéliser une situation réelle avec une équation différentielle, à la résoudre et à interpréter la solution. Il évalue aussi votre maîtrise du lien entre dérivation, primitives et calcul d'intégrale, notamment pour le calcul de valeurs exactes ou de valeurs moyennes. C'est un support idéal pour vos révisions.