Analyse du sujet de Bac Blanc de Mathématiques (Niveau Terminale STI2D)

Ce sujet de Bac Blanc de mathématiques, destiné aux élèves de Terminale STI2D, est un excellent entraînement pour l'épreuve de spécialité. Noté sur 20 points, il se compose de quatre exercices indépendants balayant plusieurs chapitres clés du programme : les fonctions exponentielles, les équations différentielles, le calcul intégral, les suites numériques et les statistiques à deux variables. Ce contrôle corrigé permet de s'évaluer sur des problèmes concrets et de vérifier sa maîtrise des compétences essentielles.

Exercice 1 : L'éolienne d'un refuge de montagne (QCM)

Cet exercice, sous forme de QCM, évalue la capacité à appliquer rapidement des formules et des raisonnements sur des thèmes variés.

• Question 1 : Il s'agit de résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme `\omega' = -0,5\omega + 15` avec une condition initiale `\omega(0) = 0`. La compétence testée est la reconnaissance et la résolution d'une équation de type `y' = ay + b`.
• Question 2 : Cette question demande le calcul de la valeur moyenne de la fonction `\omega(t)` trouvée précédemment sur l'intervalle `[0; 10]`. Cela implique de calculer l'intégrale `\frac{1}{10} \int_{0}^{10} \omega(t) dt`.
• Question 3 : On applique directement le calcul intégral pour trouver une quantité d'énergie. Il faut calculer `\int_{8}^{12} (0,2t - 1) dt`, ce qui renvoie à la recherche d'une primitive d'une fonction affine.
• Question 4 : Ce problème se modélise à l'aide d'une suite géométrique. Une perte de 2% par an correspond à un coefficient multiplicateur de 0,98. On doit résoudre l'inéquation `(0,98)^n < 0,8`, ce qui nécessite l'utilisation de la fonction logarithme népérien.
• Question 5 : La dernière question aborde les statistiques à deux variables avec un ajustement par la méthode des moindres carrés. L'équation de la droite de régression étant donnée, il suffit de l'utiliser pour faire une prédiction.

Exercice 2 : L'aération d'une salle de classe

Cet exercice se concentre sur l'analyse de données et la modélisation à l'aide des fonctions logarithme et exponentielle, un classique en STI2D.

• Question 1 à 3 : Ces questions portent sur l'ajustement de données. On montre d'abord qu'un ajustement affine n'est pas pertinent, puis on effectue un changement de variable `y = \ln(C - 420)` pour linéariser le nuage de points et déterminer une droite d'ajustement à la calculatrice.
• Question 4 : L'objectif est de revenir au modèle initial. En partant de `y = -0,119t + 7,356`, on utilise la fonction exponentielle pour exprimer `C` en fonction de `t`, ce qui aboutit à un modèle de la forme `C(t) = 420 + k e^{-0,119t}`.
• Question 5 : Il faut ici résoudre une inéquation avec la fonction exponentielle (`C(t) < 800`) pour déterminer un temps. La résolution passe par l'isolation de l'exponentielle puis l'application du logarithme.
• Question 6 : La dernière question porte sur le calcul de la limite en `+\infty` de la fonction `C(t)`, et son interprétation dans le contexte de l'exercice (la concentration en CO2 tend vers la concentration extérieure).

Exercice 3 : La crue d'une rivière après un orage

Cet exercice est une étude de fonction complète impliquant la fonction exponentielle, la dérivation et le calcul intégral.

• Question 1 et 2 : On commence par une analyse classique de la fonction `Q(t) = 20 + 30t e^{-0,5t}`. Il faut calculer sa dérivée (en utilisant la formule de dérivation d'un produit), puis étudier le signe de `Q'(t)` pour en déduire le tableau de variation de `Q` et déterminer son maximum.
• Question 3 : On demande de vérifier qu'une fonction `F` est une primitive de `Q`. Pour cela, il suffit de dériver `F(t)` et de montrer que l'on retombe sur `Q(t)`.
• Question 4 et 5 : Ces questions sont des applications du calcul intégral. On calcule d'abord la valeur moyenne du débit sur `[0; 12]` en utilisant la primitive `F`, puis on en déduit le volume total d'eau écoulé (`V = \int_{0}^{12} Q(t) dt`), un concept fondamental liant intégrale et aire sous la courbe.

Exercice 4 : La descente d'une radiosonde sous parachute

Ce dernier exercice est un problème concret entièrement modélisé par une équation différentielle du premier ordre.

• Question 1 et 2 : On étudie l'équation différentielle `y' = -0,8y + 4`. Il faut d'abord trouver la solution constante (vitesse limite), puis déterminer l'ensemble des solutions. Enfin, grâce à la condition initiale `v(0) = 25`, on identifie l'unique solution du problème. C'est une application directe du cours sur les équations `y' = ay + b`.
• Question 3 : De nouveau, on doit résoudre une inéquation avec une exponentielle (`v(t) < 5,5`) pour trouver l'instant `t` à partir duquel la vitesse passe sous un certain seuil.
• Question 4 : La dernière question est un calcul de distance parcourue, qui correspond à l'intégrale de la vitesse sur l'intervalle de temps `[0; 10]`. Il faut donc calculer `d = \int_{0}^{10} v(t) dt` en trouvant une primitive de `v(t)`.