Ce sujet de bac blanc de mathématiques (format 2027), niveau Terminale STI2D, est un excellent entraînement pour l'épreuve de spécialité. D'une durée de 2 heures, ce contrôle corrigé balaye plusieurs chapitres clés du programme : la fonction logarithme, les équations différentielles, la fonction exponentielle, le calcul intégral et les fonctions trigonométriques. Conçu pour préparer efficacement les élèves, ce sujet complet mêle analyse de fonction, modélisation de phénomènes physiques et résolution de problèmes concrets.

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Exercice 1 : Une fonction avec un logarithme

Cet exercice propose une étude de fonction classique mais complète, centrée sur la fonction logarithme népérien. On considère la fonction \( f \) définie sur l'intervalle \( [0,5; 5] \) par l'expression \( f(x) = x^2 - 8\ln(x) \).

• Dérivation et étude de signe : La première étape consiste à calculer la dérivée \( f'(x) \). Il faut ici maîtriser la dérivation des fonctions usuelles (polynômes et logarithme) pour montrer que \( f'(x) = \frac{2(x - 2)(x + 2)}{x} \). L'étude du signe de cette dérivée sur l'intervalle donné est ensuite demandée pour en déduire les variations de \( f \).
• Tableau de variations et extremum : À partir du signe de la dérivée, on dresse le tableau de variations complet de la fonction \( f \). Cet outil permet de déterminer la valeur exacte du minimum de la fonction, ainsi qu'une valeur approchée, compétence essentielle en analyse.
• Théorème des valeurs intermédiaires : L'exercice se poursuit avec une application directe du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. En s'appuyant sur le tableau de variations, il faut justifier que l'équation \( f(x) = 0 \) admet exactement deux solutions, notées \( \alpha \) et \( \beta \). L'utilisation de la calculatrice est ensuite requise pour trouver des valeurs approchées de ces solutions.
• Tableau de signes : Finalement, l'ensemble de l'étude permet de déduire le tableau de signes de la fonction \( f \) sur son intervalle de définition.

Exercice 2 : Une seringue de technétium 99m

Ce deuxième exercice est un problème de modélisation typique des sciences physiques, utilisant les équations différentielles et la fonction exponentielle pour décrire la décroissance radioactive. Il met en lumière le lien fort entre les mathématiques et la physique.

• Équation différentielle : Le point de départ est l'équation différentielle du premier ordre \( y' = -ky \), qui régit l'activité \( A(t) \) du technétium 99m. La première compétence testée est la capacité à donner l'ensemble des solutions de ce type d'équation, qui sont de la forme \( A(t) = C e^{-kt} \).
• Détermination des paramètres du modèle : En utilisant les données expérimentales fournies dans un tableau (activité à \( t=0 \) et \( t=2 \text{ h} \)), l'élève doit déterminer les valeurs des constantes \( C \) (qui correspond à l'activité initiale) et \( k \) (la constante radioactive). Cela nécessite de savoir résoudre une équation avec une exponentielle en utilisant la fonction logarithme.
• Exploitation du modèle : Une fois le modèle \( A(t) \) entièrement déterminé, il est utilisé pour faire des prédictions et les comparer aux mesures. Un point important est le calcul de la demi-vie, c'est-à-dire le temps nécessaire pour que l'activité soit divisée par deux, en montrant qu'elle est égale à \( t_1 = \frac{\ln(2)}{k} \).
• Calcul intégral : L'exercice se termine par une application du calcul intégral. Il faut d'abord trouver une primitive de la fonction \( A(t) \), puis calculer l'intégrale \( \int_0^{24} A(t) dt \). L'interprétation physique de ce résultat est également demandée, liant le calcul mathématique à une quantité concrète (le nombre total de désintégrations sur 24 heures).

Exercice 3 : Le réservoir sur tour d'un village

Ce dernier exercice est un autre problème de modélisation, cette fois-ci dans un contexte de gestion des ressources en eau. Il fait appel aux fonctions trigonométriques et au calcul intégral pour étudier le volume d'eau dans un château d'eau.

• Dérivée et variations : Le volume \( V(t) \) du réservoir est régi par sa dérivée, \( V'(t) \), qui représente la différence entre le débit entrant (constant) et le débit sortant (modélisé par une fonction sinus). On a \( V'(t) = 40 - (40 + 30 \sin(\frac{\pi t}{12})) = -30 \sin(\frac{\pi t}{12}) \). L'étude du signe de cette dérivée trigonométrique permet d'expliquer les phases de diminution et d'augmentation du volume.
• Primitives et calcul de volume : Pour trouver l'expression de \( V(t) \), il est nécessaire de déterminer une primitive de \( V'(t) \). Cela implique de connaître la primitive d'une fonction de la forme \( \sin(at+b) \). En utilisant la condition initiale \( V(0) = 300 \), on trouve la solution unique.
• Optimisation et contraintes : L'étude de la fonction \( V(t) \) permet de calculer le volume minimal d'eau dans le réservoir au cours de la journée et de vérifier si une contrainte (réserve incendie) est respectée. C'est un mini-problème d'optimisation.
• Valeur moyenne : Une question classique sur les intégrales est posée : calculer la valeur moyenne du volume \( V \) sur l'intervalle \( [0; 24] \). Cela demande de calculer \( \frac{1}{24} \int_0^{24} V(t) dt \), ce qui requiert d'intégrer une fonction contenant un cosinus.