Analyse du sujet de mathématiques - Terminale STI2D

Ce contrôle de mathématiques pour les élèves de Terminale STI2D est centré sur deux chapitres fondamentaux du programme : les équations différentielles et la fonction exponentielle. D'une durée de 2 heures, il se compose de quatre exercices : un problème complet modélisant le refroidissement d'une serre, un second problème sur la ventilation d'un sous-sol, l'analyse d'une copie d'élève pour développer l'esprit critique, et une question ouverte pour tester la prise d'initiative et le raisonnement.

Exercice 1 : La Température d'une Serre (8 points)

Ce problème complet est un excellent exemple d'application des équations différentielles et de la fonction exponentielle à une situation physique : la loi de refroidissement de Newton. À 20 heures, le chauffage d'une serre est coupé ; on modélise l'évolution de la température intérieure \(T(t)\), la température extérieure valant 5 °C. L'étude part de l'équation \(T' = -0{,}4(T - 5)\) avec la condition initiale \(T(0) = 20\).

• Résolution de l'équation : il est d'abord demandé de transformer l'équation sous la forme plus classique \(T' = -0{,}4T + 2\). La recherche de la solution constante (où \(T'=0\)) mène à \(T=5\), qui représente la température d'équilibre, c'est-à-dire la température extérieure. La forme générale des solutions \(T(t) = ke^{-0{,}4t} + 5\) et la condition initiale donnent alors \(k = 15\), soit \(T(t) = 5 + 15e^{-0{,}4t}\).
• Calcul de températures : il faut calculer \(T(2) \approx 11{,}7\) °C et \(T(3) \approx 9{,}5\) °C pour connaître la température à 22 h et 23 h.
• Résolution de problème : la question cruciale est de déterminer à quel instant la température atteint le seuil critique de 8 °C, en dessous duquel les cultures gèlent. Cela nécessite de résoudre l'équation \(5 + 15e^{-0{,}4t} = 8\), dont la solution \(t = \frac{\ln(5)}{0{,}4} \approx 4{,}024\) h passe par l'utilisation du logarithme népérien : le chauffage devra être relancé vers 0 h 01, juste après minuit.
• Vitesse de refroidissement : le calcul de la dérivée \(T'(t) = -6e^{-0{,}4t}\) donne \(T'(0) = -6\) : au moment de la coupure, la serre perd 6 °C par heure. On détermine ensuite au bout de combien de temps cette vitesse est divisée par deux, en résolvant \(6e^{-0{,}4t} = 3\) : \(t = \frac{\ln(2)}{0{,}4} \approx 1{,}733\) h, soit environ 1 h 44 min.
• Comportement à long terme : on calcule enfin la limite de \(T(t)\) lorsque \(t \to +\infty\). La limite est 5, ce qui signifie qu'à long terme, la température de la serre tend à s'équilibrer avec la température extérieure.

Exercice 2 : Ventiler un sous-sol chargé en radon (4 points)

Ce second problème relie les équations différentielles à la radioactivité. Dans le sous-sol d'un atelier, la concentration en radon vaut 1 000 Bq/m³ à la mise en route d'une ventilation, et son évolution est modélisée par \(\frac{dC}{dt} = -0{,}5C + 50\) avec \(C(0) = 1\,000\).

• Solution constante : elle vaut 100 Bq/m³ ; c'est la concentration d'équilibre, pour laquelle le radon qui entre par le sol compense exactement celui que la ventilation évacue.
• Résolution : la condition initiale permet de montrer que \(C(t) = 100 + 900e^{-0{,}5t}\).
• Niveau de référence : la concentration passe sous le niveau réglementaire de 300 Bq/m³ lorsque \(e^{-0{,}5t} = \frac{2}{9}\), soit au bout de \(t = 2\ln(4{,}5) \approx 3{,}01\) heures.
• Influence d'un paramètre : avec une ventilation renforcée de coefficient \(k\), la concentration tend vers \(\frac{50}{k}\) ; pour atteindre 50 Bq/m³, il faut \(k = 1\), c'est-à-dire doubler le coefficient de renouvellement.

Exercice 3 : Un second membre mal placé (copie d'élève) (4 points)

Cet exercice demande d'analyser le travail d'un élève qui devait résoudre \(y' = -2y + 6\) avec la condition initiale \(y(0) = 1\), d'identifier son erreur et de la corriger. C'est un excellent moyen de renforcer sa propre compréhension des mécanismes de résolution.

• Question 1 : la première ligne de la copie est correcte : les solutions de l'équation homogène \(y' = -2y\) sont bien les fonctions \(x \mapsto ke^{-2x}\).
• Question 2 : on vérifie la solution proposée, \(y(x) = -5e^{-2x} + 6\), en calculant séparément \(y'(x) = 10e^{-2x}\) et \(-2y(x) + 6 = 10e^{-2x} - 6\) : les deux expressions diffèrent, la fonction n'est pas solution.
• Question 3 : l'élève a pris le second membre \(b = 6\) pour la solution particulière, alors que la bonne constante, obtenue en cherchant une solution constante de dérivée nulle, vaut 3.
• Question 4 : la résolution correcte donne les solutions \(y(x) = ke^{-2x} + 3\), puis la condition initiale fournit \(k = -2\), d'où \(y(x) = -2e^{-2x} + 3\).

Exercice 4 : Isoler la serre jusqu'à l'aube (question ouverte) (4 points)

Cette question ouverte, sans sous-question, reprend la serre de l'exercice 1. Le maraîcher envisage de l'isoler, ce qui remplace le coefficient \(0{,}4\) par un réel \(k > 0\), d'autant plus petit que l'isolation est efficace : \(T' = -k(T - 5)\). Il souhaite que la température reste au-dessus de 8 °C jusqu'à 6 heures du matin, soit pendant 10 heures. La résolution donne \(T(t) = 5 + 15e^{-kt}\), puis l'instant où la serre atteint 8 °C, \(t = \frac{\ln(5)}{k}\). La condition \(\frac{\ln(5)}{k} \geqslant 10\) impose \(k \leqslant \frac{\ln(5)}{10} \approx 0{,}161\) : l'isolation proposée par le fournisseur, avec \(k = 0{,}15\), convient, la serre n'atteignant 8 °C que vers 6 h 44. Cette question valorise la prise d'initiative et la capacité à interpréter l'influence d'un paramètre.